Asocijativna i komutativna svojstva

Postoji nekoliko matematičkih svojstava koja se koriste u statistika i vjerojatnost; dva od tih, komutativna i asocijativna svojstva, uglavnom su povezana s osnovnom aritmetikom cijeli brojevi, racionalne i stvarni brojevi, iako se pokazuju i u naprednijoj matematici.

Ova svojstva - komutativna i asocijativna - vrlo su slična i mogu se lako miješati. Iz tog je razloga važno shvatiti razliku između to dvoje.

Komutativno svojstvo odnosi se na redoslijed određenih matematičkih operacija. Za binarnu operaciju - onu koja uključuje samo dva elementa - to se može pokazati jednadžbom a + b = b + a. Operacija je komutativna jer redoslijed elemenata ne utječe na rezultat operacije. S druge strane, pridruženo svojstvo odnosi se na grupiranje elemenata u operaciji. To se može pokazati jednadžbom (a + b) + c = a + (b + c). Grupiranje elemenata, kako je naznačeno u zagradama, ne utječe na rezultat jednadžbe. Kada se koristi svojstvo komutacije, elementi u jednadžbi su preuređeni. Kad se koristi asocijativno svojstvo, elementi su samo regrupirana.

Jednostavno rečeno, svojstvo komutacije kaže da se faktori u jednadžbi mogu slobodno preurediti bez utjecaja na ishod jednadžbe. Komutativno svojstvo se, dakle, odnosi na redoslijed operacija, uključujući zbrajanje i množenje stvarnih brojeva, cijelih brojeva i racionalnih brojeva.

Na primjer, brojevi 2, 3 i 5 mogu se zbrojiti bilo kojim redom bez utjecaja na krajnji rezultat:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Brojevi se mogu množiti u bilo kojem redoslijedu, a da ne utječu na krajnji rezultat:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Oduzimanje i dijeljenje, međutim, nisu operacije koje mogu biti komutativne jer je redoslijed operacija važan. Tri gornja broja Ne možeš, na primjer, oduzeti u bilo kojem redoslijedu bez utjecaja na krajnju vrijednost:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Kao rezultat, komutacijsko svojstvo se može izraziti jednadžbama a + b = b + a i a x b = b x a. Bez obzira na redoslijed vrijednosti u tim jednadžbama, rezultati će uvijek biti isti.

U asocijativnom svojstvu stoji da se grupiranje faktora u operaciji može mijenjati bez utjecaja na ishod jednadžbe. To se može izraziti jednadžbom a + (b + c) = (a + b) + c. Bez obzira koji par vrijednosti u jednadžbi je prvi dodan, rezultat će biti isti.

Za primjer uzmimo jednadžbu 2 + 3 + 5. Bez obzira kako su grupirane vrijednosti, rezultat jednadžbe bit će 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Kao i kod komutativnog svojstva, primjeri operacija koje su asocijativne uključuju zbrajanje i množenje stvarnih brojeva, cijelih brojeva i racionalnih brojeva. Međutim, za razliku od komutativnog svojstva, asocijativno svojstvo može se primijeniti i na množenje matrice i sastav funkcije.

Kao jednadžbe svojstava komutativnih svojstava, jednadžbe asocijativnih svojstava ne mogu sadržavati oduzimanje realnih brojeva. Uzmimo za primjer aritmetički problem (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; ako promijenimo grupiranje zagrada, imamo 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, što mijenja konačni rezultat jednadžbe.

Razliku između asocijativnog i komutativnog svojstva možemo reći postavljanjem pitanja: „Promijenimo li redoslijed elemenata ili mijenjamo grupiranje elemenata? " Ako se elementi preuređuju, tada je komutacijsko svojstvo vrijedi. Ako se elementi samo grupiraju, tada se primjenjuje asocijativno svojstvo.

Međutim, imajte na umu da samo prisustvo zagradama ne znači nužno i da se primjenjuje asocijativno svojstvo. Na primjer:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Ova je jednadžba primjer komutativnog svojstva sabiranja realnih brojeva. Ako pažljivo obratimo pažnju na jednadžbu, vidimo da je promijenjen samo redoslijed elemenata, a ne grupiranje. Da bi se pridružilo asocijativno svojstvo, morali bismo preurediti grupiranje elemenata:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3