Eksponencijalno propadanje i promjena u postocima

Kad se originalni iznos smanji vremenskom postojanom stopom, eksponencijalno propadanje događa se. Ovaj primjer pokazuje kako raditi dosljedan problem brzine ili izračunati faktor raspadanja. Ključ za razumijevanje faktora propadanja je učenje postotak promjene.

Slijedi eksponencijalna funkcija raspadanja:

y = a (1 –b)^x

gdje:

• "y" je konačni iznos koji ostaje nakon propadanja tijekom određenog vremenskog razdoblja
• "a" je izvorni iznos
• "x" predstavlja vrijeme
• Faktor raspadanja je (1 –b).
• Varijabla, b, je postotna promjena u decimalnom obliku.

Kako je ovo eksponencijalni faktor propadanja, ovaj se članak usredotočuje na smanjenje postotka.

Tri primjera pomažu ilustrirati načine nalaženja postotka smanjenja:

Grčka doživljava veliko financijsko naprezanje, jer duguje više novca nego što može otplatiti. Kao rezultat toga, grčka vlada pokušava smanjiti koliko troši. Zamislite da je stručnjak rekao grčkim čelnicima da oni moraju smanjiti potrošnju za 20 posto.

• Koliki je postotni pad, b, grčke potrošnje? 20 posto
• Koji je faktor propadanja grčke potrošnje?

Faktor raspadanja:

(1 - b) = (1 - .20) = (.80)

Kako Grčka smanjuje svoje vladina potrošnja, stručnjaci predviđaju da će se dug države smanjivati. Zamislite može li se godišnji dug zemlje modelirati ovom funkcijom:

y = 500 (1 - .30)^x

pri čemu "y" znači milijarde dolara, a "x" predstavlja broj godina od 2009. godine.

• Koliki je postotni pad, b, godišnjeg duga Grčke? 30 posto
• Koji je faktor propadanja godišnjeg duga Grčke?

Faktor raspadanja:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

Nakon što Grčka smanji vladine usluge i plaće, zamislite da se ovim podacima detaljno planira godišnji dug Grčke.

• 2009.: 500 milijardi USD
• 2010.: 475 milijardi USD
• 2011.: 451,25 milijardi USD
• 2012.: 428,69 milijardi USD

A. Izaberite dvije uzastopne godine za usporedbu: 2009.: 500 milijardi USD; 2010.: 475 milijardi USD

B. Koristite ovu formulu:

Postotak smanjenja = (stariji - noviji) / stariji:

(500 milijardi - 475 milijardi) / 500 milijardi = .05 ili 5 posto

C. Provjerite konzistentnost. Odaberite dvije druge uzastopne godine: 2011.: 451,25 milijardi USD; 2012.: 428,69 milijardi USD

(451,25 - 428,69) / 451,25 otprilike je 0,05 ili 5 posto

Sol je sjaj američkih stalka za začine. Glitter pretvara građevinski papir i sirove crteže u dragocjene čestitke za Majčin dan; sol pretvara inače blagu hranu u nacionalne favorite. Obilje soli u krumpiru od čipsa, kokica i pekmeza od ocaka očarava okusne pupoljke.

Nažalost, previše okusa može pokvariti dobru stvar. U rukama odraslih s teškim rukama višak soli može dovesti do visokog krvnog tlaka, srčanih udara i moždanog udara. Nedavno je zakonodavac najavio zakonodavstvo koje će prisiliti američke građane i stanovnike da smanje količinu soli koju konzumiraju. Što ako je usvojen zakon o smanjenju soli, a Amerikanci su počeli manje konzumirati mineral?

Pretpostavimo da su restorani svake godine dobili mandat da smanjuju razinu natrija za 2,5 posto godišnje, počevši od 2017. godine. Predviđeni pad srčanog udara može se opisati sljedećom funkcijom:

y = 10.000.000 (1 - .10)^x

pri čemu "y" predstavlja godišnji broj srčanih udara nakon "x" godina.

Očito, zakonodavstvo bi bilo vrijedno soli. Amerikanci bi pogodili manje udaraca. Evo izmišljenih projekcija godišnjih udara u Americi:

• 2016: 7.000.000 udaraca
• 2017: 6 650 000 udaraca
• 2018: 6.317.500 udaraca
• 2019: 6.001.625 udaraca

Koji je obavezni pad potrošnje soli u restoranima?

Odgovor: 2,5 posto

Objašnjenje: Predviđa se da će se tri različite stvari - razina natrija, srčani udar i moždani udar - smanjiti. Svake godine restorani su dobili mandat da smanjuju razinu natrija za 2,5 posto godišnje, počevši od 2017. godine.

Koliki je faktor propadanja potrošnje soli u restoranima?

Odgovor: .975

Objašnjenje: Faktor raspadanja:

(1 - b) = (1 - .025) = .975

Na temelju predviđanja, koliki bi bio postotni pad za godišnje srčane udare?

Odgovor: 10 posto

Objašnjenje: Predviđeni pad srčanog udara može se opisati sljedećom funkcijom:

y = 10.000.000 (1 - .10) x

pri čemu "y" predstavlja godišnji broj srčanih udara nakon "x" godina.

Na temelju predviđanja, što će biti faktor propadanja za godišnje srčane udare?

Odgovor: .90

Objašnjenje: Faktor raspadanja:

(1 - b) = (1 - .10) = .90

Koliki će biti postotak smanjenja udaraca u Americi na temelju tih izmišljenih projekcija?

Odgovor: 5 posto

Obrazloženje:

A. Odaberite podatke za dvije uzastopne godine: 2016: 7 000 000 udaraca; 2017: 6 650 000 udaraca

B. Koristite ovu formulu: Postotak smanjenja = (stariji - noviji) / stariji

(7.000.000 - 6.650.000) / 7.000.000 = .05 ili 5 posto

C. Provjerite dosljednost i odaberite podatke za drugi niz uzastopnih godina: 2018: 6.317.500 poteza; 2019: 6.001.625 udaraca

Postotak smanjenja = (stariji - noviji) / stariji

(6.317.500 - 6.001.625) / 6.001.625 otprilike .05 ili 5 posto

Koji će faktor propadanja biti u Americi na temelju tih izmišljenih projekcija?

Odgovor: .95

Objašnjenje: Faktor raspadanja:

(1 - b) = (1 - .05) = .95

Uredio Anne Marie Helmenstine, dr. Sc.