Kako se u matematici koristi 'ako i samo ako'

Kada čitate o statistici i matematici, jedna rečenica koja se redovito pojavljuje je "ako i samo ako". Ova se fraza naročito pojavljuje u izjavama matematičkih teorema ili dokaza. Ali što, tačno, znači ta izjava?

Da bismo razumjeli „ako i samo ako“, prvo moramo znati što se podrazumijeva pod uvjetnom izjavom. Uvjetna je izjava ona koja je formirana iz dvije druge izjave, a koje ćemo označiti s P i Q. Da bismo stvorili uvjetnu izjavu, mogli bismo reći "ako P onda Q."

Slijede primjeri ove vrste izjava:

• Ako vani pada kiša, uzmem svoj kišobran sa sobom u šetnju.
• Ako naporno učite, tada ćete zaraditi A.
• Ako n je djeljiv sa 4, dakle n djeljiv je sa 2.

Tri druge izjave povezane su s bilo kojom uvjetnom izjavom. Oni se nazivaju obrnuto, obrnuto i kontrapozitivno. Ove izjave oblikujemo mijenjanjem redoslijeda P i Q iz izvornog uvjetnog i umetanjem riječi "ne" za obrnuto i kontrapozitivno.

Ovdje trebamo uzeti u obzir samo obrnuto. Ta je izjava dobivena iz originala govoreći: "ako Q onda P." Pretpostavimo da započnemo s uvjetnim "ako vani pada kiša, onda ja ponesite moj kišobran sa sobom u šetnju. " Suprotnost ovoj izjavi je „ako uzmem svoj kišobran sa sobom u šetnju, tada pada kiša vani.”

Ovaj primjer moramo samo razmotriti da bismo shvatili da izvorni uvjet nije logično isti kao njegov obratni. Zbunjenost ova dva oblika iskaza poznata je kao a obrnuta pogreška. Čovjek bi mogao uzeti kišobran u šetnji iako vani možda ne pada kiša.

Za drugi primjer, smatramo uvjetno "Ako je broj djeljiv sa 4, tada je djeljiv sa 2." Ta je tvrdnja jasno istinita. Međutim, obratna izjava ove izjave: "Ako je broj djeljiv sa 2, onda je djeljiv sa 4", netočno je. Trebamo samo pogledati broj kao što je 6. Iako 2 dijeli ovaj broj, 4 ne. Iako je izvorna izjava istinita, njena suprotnost nije.

To nas dovodi do bikondicionalne izjave, koja je poznata i kao izjava "ako i samo ako". Određene uvjetne izjave također imaju pregovore koji su istiniti. U ovom slučaju možemo oblikovati ono što je poznato kao dvokondicionalan iskaz. Dvokondicijska izjava ima oblik:

"Ako je P, onda Q, a ako Q, onda P."

Od ovoga izgradnja je pomalo nespretno, pogotovo kad su P i Q vlastite logičke izjave, pojednostavljujemo dvokondicionalan iskaz pomoću fraze "ako i samo ako." Umjesto da kažemo „ako P onda Q, a ako Q onda P“, umjesto toga kažemo „P ako i samo ako je Q.“. Ova konstrukcija neke eliminira zalihost.

Na primjer frazu "ako i samo ako" koja uključuje statistiku, nemojte gledati dalje od činjenice koja se odnosi na uzorkovanje standardne devijacije. Standardno odstupanje uzorka skupa podataka jednako je nula ako i samo ako su sve vrijednosti podataka identične.

Razbijamo ovu dvokondicionističku izjavu na uvjetnu i njezinu obrnutu. Tada vidimo da ova izjava znači i sljedeće:

• Ako je standardno odstupanje jednako nuli, tada su sve vrijednosti podataka identične.
• Ako su sve vrijednosti podataka identične, tada je standardno odstupanje jednako nuli.

Ako se pokušavamo dokazati dvokondicijskim, tada većinu vremena razdvajamo. Zbog toga naš dokaz ima dva dijela. Jedan dio za koji dokazujemo je "ako P onda Q." Drugi dio dokaza koji nam treba je "ako je Q, onda P."

Dvokondicione izjave odnose se na uvjete koji su i potrebni i dovoljni. Razmislite o izjavi „ako je danas tako Uskrs, onda je sutra ponedjeljak. " Danas je Uskrs dovoljan da bi sutra bio ponedjeljak, međutim, to nije nužno. Danas bi mogla biti bilo koja nedjelja osim Uskrsa, a sutra bi i dalje bila ponedjeljak.

Izraz "ako i samo ako" se koristi dovoljno matematički u pisanju da ima svoju kraticu. Ponekad je dvokondicionalan u izjavi fraze "ako i samo ako" skraćen na jednostavno "iff". Stoga izjava „P ako i samo ako Q“ postane „P iff Q.“