Jedna upotreba a hi-kvadratna distribucija je s testovima hipoteze za multinomne eksperimente. Da vidim kako ovo test hipoteze djela, istražit ćemo sljedeća dva primjera. Oba primjera rade kroz isti skup koraka:
- Oblikujte nulte i alternativne hipoteze
- Izračunajte test ispitivanja
- Pronađite kritičnu vrijednost
- Donesite odluku o tome želite li odbiti ili ne odbaciti našu ništavnu hipotezu.
Primjer 1: Pravi novčić
Za svoj prvi primjer želimo pogledati novčić. Sajamski novčić ima jednaku vjerojatnost 1/2 nadignute glave ili repova. Bacamo novčić 1000 puta i zabilježimo rezultate od ukupno 580 glava i 420 repova. Želimo testirati hipotezu na 95% razini pouzdanosti da je novčić koji smo okrenuli pravičan. Formalnije je Nulta hipotezaH0 je da je novčić fer. Budući da uspoređujemo promatrane frekvencije rezultata bacanja novčića s očekivanim frekvencijama idealiziranog poštenog novčića, treba koristiti test hi-kvadrat.
Izračunajte statistiku Chi-Squarea
Započinjemo izračunavanjem hi-kvadrat statistike za ovaj scenarij. Postoje dva događaja, glave i repovi. Uočene su učestalosti
f1 = 580 s očekivanom učestalošću od e1 = 50% x 1000 = 500. Promatranost repova je učestalost f2 = 420 s očekivanom učestalošću od e1 = 500.Sada koristimo formulu za statistiku hi-kvadrata i vidimo da je χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Pronađite kritičnu vrijednost
Zatim moramo pronaći kritičnu vrijednost za pravilnu raspodjelu hi-kvadrata. Budući da postoje dva ishoda za novac, postoje dvije kategorije koje treba uzeti u obzir. Broj stupnjevi slobode jedna je manje od broja kategorija: 2 - 1 = 1. Koristimo hi-kvadratnu distribuciju za ovaj broj stupnjeva slobode i vidimo da je χ20.95=3.841.
Odbiti ili ne odbiti?
Konačno, uspoređujemo izračunatu statistiku Chi-kvadrat s kritičnom vrijednošću iz tablice. Od 25.6> 3.841, odbacujemo ništavnu hipotezu da je riječ o poštenom novcu.
Primjer 2: Fair Die
Pravi umor jednaka je vjerojatnosti 1/6 kotrljanja jedan, dva, tri, četiri, pet ili šest. Valjamo matricu 600 puta i napominjemo da smo smotali jedan 106 puta, dva 90 puta, tri 98 puta, četiri 102 puta, pet 100 puta i šest 104 puta. Želimo testirati hipotezu na 95% razini pouzdanosti da imamo poštenu smrt.
Izračunajte statistiku Chi-Squarea
Postoji šest događaja, od kojih svaki očekuje učestalost od 1/6 x 600 = 100. Promatrane frekvencije su f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Sada koristimo formulu za statistiku hi-kvadrata i vidimo da je χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Pronađite kritičnu vrijednost
Zatim moramo pronaći kritičnu vrijednost za pravilnu raspodjelu hi-kvadrata. Budući da postoji šest kategorija rezultata za matricu, broj stupnjeva slobode jedan je manji od ovoga: 6 - 1 = 5. Koristimo hi-kvadratnu distribuciju za pet stupnjeva slobode i vidimo da je χ20.95=11.071.
Odbiti ili ne odbiti?
Konačno, uspoređujemo izračunatu statistiku Chi-kvadrat s kritičnom vrijednošću iz tablice. Budući da je izračunata statistička vrijednost hi-kvadrata 1,6 manja od naše kritične vrijednosti od 11.071, mi ne uspije odbiti nulta hipoteza.