Što je Markova nejednakost?

Markova nejednakost koristan je rezultat vjerojatnosti koji daje informacije o raspodjela vjerojatnosti. Izvanredan aspekt toga je da nejednakost vrijedi za bilo koju distribuciju s pozitivnim vrijednostima, bez obzira na ostale značajke. Markova nejednakost daje gornju granicu postotka distribucije koji je iznad određene vrijednosti.

Markova nejednakost kaže da je to pozitivna slučajna varijabla x i bilo koji pozitivan pravi broj, vjerojatnost da x je veća ili jednaka je manje ili jednako očekivana vrijednost od x podjeljeno sa .

Gornji se opis može sažeto iznijeti matematičkim zapisima. U simbolima pišemo Markovu nejednakost kao:

P (x ≥ ) ≤ E( x) /

Kako bismo ilustrirali nejednakost, pretpostavimo da imamo raspodjelu s nenegativnim vrijednostima (poput a hi-kvadratna distribucija). Ako je ta slučajna varijabla x je očekivana vrijednost 3, pogledat ćemo vjerojatnosti za nekoliko vrijednosti .

• Za = 10 Markova nejednakost to govori P (x ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Dakle, postoji 30% vjerojatnost da x je veća od 10.
instagram viewer
• Za = 30 Markova nejednakost to govori P (x ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Dakle, postoji 10% vjerojatnost da x je veća od 30.
• Za = 3 Markova nejednakost to kaže P (x ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Događaji s vjerojatnošću od 1 = 100% su sigurni. Dakle, ovo govori da je neka vrijednost slučajne varijable veća od ili jednaka 3. Ovo ne bi trebalo biti previše iznenađujuće. Ako su sve vrijednosti x bili manji od 3, tada bi i očekivana vrijednost bila manja od 3.
• Kao vrijednost povećava, kvocijent E(x) / postat će sve manji i manji. To znači da je vjerojatnost da je to vrlo mala x je vrlo, vrlo velik. Opet, s očekivanom vrijednošću od 3, ne bismo očekivali da će biti velik dio raspodjele s vrijednostima koje su vrlo velike.

Ako znamo više o distribuciji s kojom radimo, obično možemo poboljšati Markovu nejednakost. Vrijednost njegove upotrebe je ta što vrijedi za bilo koju distribuciju s negativnim vrijednostima.

Na primjer, ako znamo prosječnu visinu učenika u osnovnoj školi. Markova nejednakost govori nam o tome da više od šestine učenika ne može imati visinu veću od šest puta veću od srednje visine.

Druga velika upotreba Markove nejednakosti jest dokazati Čebiševa nejednakost. Ta činjenica rezultira time da se naziv „Čebiševa nejednakost“ primjenjuje i na Markovu nejednakost. Zbunjenost imenovanja nejednakosti također nastaje zbog povijesnih okolnosti. Andrey Markov bio je student Pafnutyja Čebiševa. Čebiševo djelo sadrži nejednakost koja se pripisuje Markovu.