uvjetna vjerojatnost događaja je vjerojatnost da će događaj događa s obzirom da je drugi događaj B već se dogodilo. Ova vrsta vjerojatnosti se izračunava ograničenjem uzorak prostora s kojim radimo samo na setu B.
Formula za uvjetnu vjerojatnost može se prepisati pomoću neke osnovne algebre. Umjesto formule:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),
množimo obje strane po P (B) i dobiti ekvivalentnu formulu:
P (A | B) x P (B) = P (A ∩ B).
Zatim možemo upotrebljavati ovu formulu da pronađemo vjerojatnost da se dva događaja dogode korištenjem uvjetne vjerojatnosti.
Upotreba formule
Ova je inačica formule najkorisnija kada znamo uvjetnu vjerojatnost dan B kao i vjerojatnost događaja B. Ako je to slučaj, onda možemo izračunati vjerojatnost križanje od dan B jednostavnim množenjem dviju drugih vjerojatnosti. Vjerojatnost sjecišta dva događaja važan je broj jer je vjerojatnost da se oba događaja dogode.
Primjeri
Pretpostavimo da za naš prvi primjer poznajemo sljedeće vrijednosti vjerojatnosti: P (A | B) = 0,8 i P (B) = 0,5. Vjerojatnost P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.
Iako gornji primjer pokazuje kako formula djeluje, ona možda nije najsvjetlija u pogledu koliko je gornja formula korisna. Stoga ćemo razmotriti još jedan primjer. Postoji srednja škola s 400 učenika, od čega 120 muških, a 280 ženskih. Od muškaraca 60% je trenutno upisano na tečaj matematike. 80% žena trenutno je upisano na tečaj matematike. Kolika je vjerojatnost da je nasumično odabrana studentica ženska osoba koja je upisana na tečaj matematike?
Ovdje smo dopustili F označavaju događaj "Izabrani student je žensko" i M događaj "Izabrani učenik upisuje se na matematički tečaj." Moramo utvrditi vjerojatnost sjecišta ta dva događaja, ili P (M ∩ F).
Gornja formula pokazuje nam to P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Vjerojatnost odabira ženke je P (F) = 280/400 = 70%. Uvjetna vjerojatnost da je odabrani student upisan na tečaj matematike, s obzirom na to da je odabrana ženska osoba P (M | F) = 80%. Pomnožimo ove vjerojatnosti zajedno i vidimo da imamo 80% x 70% = 56% vjerojatnost odabira studentice koja je upisana na tečaj matematike.
Test za neovisnost
Gornja formula koja se odnosi na uvjetnu vjerojatnost i vjerojatnost sjecišta daje nam jednostavan način da utvrdimo je li riječ o dva neovisna događaja. Od događaja i B neovisni su ako P (A | B) = P (A), iz gornje formule proizlazi da događaji i B neovisni su ako i samo ako:
P (A) x P (B) = P (A ∩ B)
Pa ako to znamo P (A) = 0.5, P (B) = 0,6 i P (A ∩ B) = 0,2, a da ne znamo ništa drugo možemo utvrditi da ti događaji nisu neovisni. Mi to znamo jer P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Ovo nije vjerojatnost sjecišta i B.