Funkcija generiranja trenutka za binomnu distribuciju

Srednja vrijednost i varijanca slučajne varijable x s binomna raspodjela vjerojatnosti može biti teško direktno izračunati. Iako može biti jasno što treba učiniti u korištenju definicije očekivana vrijednost od x i x², stvarno izvršavanje ovih koraka je lukavo žongliranje algebrom i zbrajanjem. Alternativni način za određivanje srednje vrijednosti i varijance a binomna raspodjela je koristiti funkcija generiranja trenutka za x.

Započnite sa slučajnom varijabli x i opisati raspodjela vjerojatnosti točnije. izvesti n neovisna suđenja Bernoulliju, od kojih svaka ima vjerojatnost uspjeha p i vjerojatnost neuspjeha 1 - p. Dakle, funkcija mase vjerojatnosti je

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Ovdje izraz C(n, x) označava broj kombinacija n preuzetih elemenata x u isto vrijeme i x može uzeti vrijednosti 0, 1, 2, 3,..., n.

Upotrijebite ovu funkciju mase vjerojatnosti za dobivanje funkcije generiranja trenutka x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Postaje jasno da izraze možete kombinirati s eksponentom značaja x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Nadalje, pomoću binomne formule, gornji izraz je jednostavno:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

Da bi se pronašao srednja i varijancu, morat ćete znati oboje M(0) i M’’(0). Započnite s izračunavanjem svojih derivata, a zatim svaki od njih procijenite na t = 0.

Vidjet ćete da je prva izvedenica funkcije generiranja trenutka:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Iz toga možete izračunati sredinu raspodjele vjerojatnosti. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. To se podudara s izrazom koji smo dobili izravno iz definicije srednje vrijednosti.

Proračun varijance izvodi se na sličan način. Najprije diferenciramo funkciju generiranja trenutka, a zatim ocjenjujemo ovaj derivat na t = 0. Ovdje ćete to vidjeti

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Da biste izračunali varijancu ove slučajne varijable morate pronaći M’’(t). Ovdje imate M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Varijanca σ² vaše distribucije je

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Iako je ova metoda donekle uključena, nije toliko složena kao izračunavanje srednje vrijednosti i varijance izravno iz funkcije mase vjerojatnosti.