Očekivana vrijednost za Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck je igra na sreću. Tri kocke valjani su, ponekad u žičanom okviru. Zbog tog se okvira ova igra naziva i birdcage. Ova se igra češće viđa u karnevalima, a ne u kockarnicama. Međutim, zbog korištenja nasumičnih kockica, vjerojatnost možemo iskoristiti za analizu ove igre. Konkretnije, možemo izračunati očekivanu vrijednost ove igre.

Postoji nekoliko vrsta oklada na koje se može kladiti. Razmotrit ćemo samo okladu s jednim brojem. Na ovom okladu jednostavno biramo određeni broj od jedan do šest. Zatim kockamo kockice. Razmotrite mogućnosti. Sve kockice, dvije, jedna ili nijedna, nisu mogle pokazati broj koji smo odabrali.

Pretpostavimo da će ova igra platiti sljedeće:

• $ 3 ako sve tri kockice odgovaraju odabranom broju.
• 2 USD ako se točno dvije kockice podudaraju s odabranim brojem.
• $ 1 ako točno jedna od kockica odgovara odabranom broju.

Ako nijedna kockica ne odgovara odabranom broju, tada moramo platiti 1 USD.

Koja je očekivana vrijednost ove igre? Drugim riječima, dugoročno gledano koliko bismo u prosjeku očekivali da pobijedimo ili izgubimo ako ovu igru ​​igramo više puta?

Da bismo pronašli očekivanu vrijednost ove igre moramo odrediti četiri vjerojatnosti. Te vjerojatnosti odgovaraju četiri moguća ishoda. Primjećujemo da je svaka matrica neovisna od ostalih. Zbog ove neovisnosti koristimo pravilo množenja. To će nam pomoći u određivanju broja ishoda.

Pretpostavljamo i da su kockice fer. Svaka od šest strana na svakoj od tri kockice s jednakom je vjerojatnošću da će biti valjana.

Moguće je 6 x 6 x 6 = 216 rezultata valjanja ove tri kocke. Taj će broj biti nazivnik svih naših vjerojatnosti.

Postoji jedan način da sve tri kockice uskladite s odabranim brojem.

Postoji pet načina da se jedna matrica ne podudara s našim odabranim brojem. To znači da postoji 5 x 5 x 5 = 125 načina kako nijedna od naših kockica ne može odgovarati broju koji je bio izabran.

Ako uzmemo u obzir točno dvije podudarnosti kockica, imamo jednu matricu koja se ne podudara.

• Postoje 1 x 1 x 5 = 5 načina da prve dvije kockice odgovaraju našem broju, a treći da budu različiti.
• Postoji 1 x 5 x 1 = 5 načina za slaganje prve i treće kockice, s tim da će druga biti drugačija.
• Postoji 5 x 1 x 1 = 5 načina da se prvi umre drugačiji, a drugi i treći da se podudaraju.

To znači da postoji ukupno 15 načina kako se podudaraju točno dvije kockice.

Sada smo izračunali broj načina za postizanje svih naših rezultata, osim jednog. Moguće je 216 kolutova. Računali smo ih 1 + 15 + 125 = 141. To znači da je ostalo 216 -141 = 75.

Prikupljamo sve gore navedene podatke i vidimo:

• Vjerojatnost da se naš broj podudara sa sve tri kocke je 1/216.
• Vjerojatnost da se naš broj podudara s točno dvije kocke je 15/216.
• Vjerojatnost da se naš broj podudara s točno jednim dielom je 75/216.
• Vjerojatnost da naš broj ne odgovara nijednoj kockici je 125/216.

Sada smo spremni izračunati očekivana vrijednost ove situacije. formula za očekivanu vrijednost zahtijeva da množimo vjerojatnost svakog događaja s neto dobitkom ili gubitkom ako se događaj dogodi. Zatim sve ove proizvode dodajemo zajedno.

Proračun očekivane vrijednosti je kako slijedi:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

To je otprilike - 0,08 USD. Tumačenje je da ako bismo više puta igrali ovu igru ​​u prosjeku bismo izgubili 8 centi svaki put kada bismo igrali.