Očekivana vrijednost binomne distribucije

Binomne distribucije važna su klasa diskretnih distribucije vjerojatnosti. Ove vrste distribucija su niz n neovisna suđenja Bernoulliju, od kojih svako ima stalnu vjerojatnost p uspjeha. Kao i kod svake raspodjele vjerojatnosti, i mi bismo željeli znati što znači i što je središte Za to se zapravo pitamo: "Što je očekivana vrijednost binomne distribucije? "

Ako pažljivo razmišljamo o a binomna raspodjela, nije teško odrediti očekivano vrijednost ove vrste distribucije vjerojatnosti je np. Za nekoliko kratkih primjera toga, uzmite u obzir sljedeće:

• Ako bacimo 100 novčića, i x je broj glava, očekivana vrijednost x je 50 = (1/2) 100.
• Ako radimo test višestrukog izbora s 20 pitanja i svako pitanje ima četiri izbora (samo jedno od što je tačno), tada bi nasumično nagađanje značilo da bismo očekivali samo da dobijemo (1/4) 20 = 5 pitanja ispravan.

U oba ova primjera to vidimo E [X] = n str. Dva su slučaja jedva dovoljna za zaključak. Iako je intuicija dobar alat za vođenje, nije dovoljno oblikovati matematički argument i dokazati da je nešto istina. Kako konačno možemo dokazati da je očekivana vrijednost ove distribucije doista

Iz definicije očekivane vrijednosti i funkcije mase vjerojatnosti za binomna raspodjela od n suđenja vjerojatnosti uspjeha p, možemo pokazati da se naša intuicija podudara s plodovima matematičke strogosti. Moramo biti pomalo oprezni u svom radu i okretni u svojim manipulacijama binomnim koeficijentom koji je dan formulom za kombinacije.

Započinjemo s formulom:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) str^x(1 p)^{n - x}.

Budući da se svaki pojam zbrajanja množi sa x, vrijednost termina koji odgovara x = 0 bit će 0, i zapravo možemo pisati:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) str ^x (1 - p) ^{n - x} .

Manipuliranjem tvornica uključenih u izraz za C (n, x) možemo prepisati

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

To je istina jer:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Iz toga slijedi:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) str ^x (1 - p) ^{n - x} .

Faktoriziramo to n i jedan p iz gornjeg izraza:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) str ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

Promjena varijabli r = x - 1 daje nam:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) str ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Prema binomnoj formuli, (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} gornji zbroj može se prepisati:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np

Gornji argument uvelike nas je izveo. Od početka samo definicijom očekivane vrijednosti i funkcije mase vjerojatnosti za binomnu raspodjelu, dokazali smo da je to što nam je rekla naša intuicija. Očekivana vrijednost vrijednosti binomna raspodjelaB (n, p) je n p.