Vjerojatnost pucanja pune kuće u Yahtzeeju?

Igra Yahtzee uključuje upotrebu pet standardnih kockica. Na svakom koraku igrači dobivaju tri role. Nakon svakog bacanja može se zadržati bilo koji broj kockica s ciljem da se dobiju određene kombinacije tih kockica. Svaka različita kombinacija vrijedi različitog broja bodova.

Jedna od tih vrsta kombinacija naziva se full house. Poput pune kuće u igri pokera, ova kombinacija uključuje tri od određenog broja, zajedno s parom različitog broja. Budući da Yahtzee uključuje slučajno valjanje kockica, ovu igru ​​možete analizirati pomoću vjerojatnosti da biste utvrdili koliko je vjerovatno valjanje pune kuće u jednom kolu.

Započet ćemo iznošenjem svojih pretpostavki. Pretpostavljamo da su kockice korištene fer i neovisne jedna o drugoj. To znači da imamo jednoličan uzorak koji se sastoji od svih mogućih valjaka od pet kockica. Iako igra Yahtzee-a dopušta tri peciva, razmotrit ćemo samo slučaj da u jednoj rolni dobijemo punu kuću.

Budući da surađujemo sa uniformauzorak prostora

Broj rezultata u uzorku je jednostavan. Budući da postoji pet kockica, a svaka od ovih kockica može imati jedan od šest različitih ishoda, broj rezultata u prostoru za uzorke je 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Dalje, izračunavamo broj načina da se puna kuća. To je teži problem. Da bismo imali punu kuću, potrebne su nam tri kockice jedne vrste, nakon čega slijedi par različitih vrsta kockica. Taj ćemo problem podijeliti u dva dijela:

• Koliki je broj različitih vrsta punih kuća koje se mogu valjati?
• Koliki je broj načina na koji bi se mogla pokrenuti određena vrsta pune kuće?

Nakon što znamo broj svakog od njih, možemo ih množiti zajedno kako bismo dobili ukupan broj punih kuća koje možemo prevesti.

Započinjemo gledanjem broja različitih vrsta punih kuća koje se mogu valjati. Bilo koji od brojeva 1, 2, 3, 4, 5 ili 6 mogao bi se upotrijebiti za tri vrste. Preostalo je pet brojeva za par. Dakle, postoji 6 x 5 = 30 različitih vrsta kombinacija full housea koje se mogu valjati.

Na primjer, mogli bismo imati 5, 5, 5, 2, 2 kao jednu vrstu full housea. Druga vrsta pune kuće bila bi 4, 4, 4, 1, 1. Još jedan bi bio 1, 1, 4, 4, 4, što je različito od prethodne pune kuće jer su uloge četvorke i one promijenjeni.

Sada određujemo različit broj načina na koji valjamo određenu cijelu kuću. Na primjer, svaki od sljedećih daje nam istu punu kuću od tri četvorke i dvije:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vidimo da postoji najmanje pet načina za valjanje određene pune kuće. Postoje li drugi? Čak i ako nastavimo nabrajati druge mogućnosti, kako znati da smo ih sve pronašli?

Ključno za odgovor na ova pitanja je shvatiti da se bavimo problemom brojanja i odrediti s kojom vrstom brojanja radimo. Postoji pet pozicija, a tri od njih moraju biti ispunjena s četiri. Redoslijed postavljanja četvorki nije važan sve dok su točni položaji popunjeni. Nakon što se utvrdi položaj četvorica, postavljanje ljestvice je automatski. Iz tih razloga moramo razmotriti kombinacija od pet pozicija zauzetih tri odjednom.

Za dobivanje koristimo kombinacijsku formulu C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. To znači da postoji 10 različitih načina za snimanje određene kuće.

Spajajući sve to zajedno, imamo naš broj punih kuća. Postoji 10 x 30 = 300 načina kako dobiti punu kuću u jednom kolu.

Sada je vjerojatnost pune kuće je jednostavan izračun podjele. Budući da postoji 300 načina da se puna kuća prebaci u jednu rolu i da je moguće 7776 valjaka s pet kockica, vjerojatnost da će se full house istresti je 300/7776, što je blizu 1/26 i 3,85%. Ovo je 50 puta vjerojatnije od prevrtanja Yahtzeeja u jednom kolu.

Naravno, vrlo je vjerojatno da prva kolut nije puna kuća. Ako je to slučaj, onda su nam dopuštena još dva kola na kojima je veća vjerojatnost pune kuće. Vjerojatnost ovoga je mnogo složenija za utvrđivanje zbog svih mogućih situacija koje bi trebalo razmotriti.