Matematička statistika ponekad zahtijeva upotrebu teorije skupova. De Morganovi zakoni dvije su izjave koje opisuju interakcije između različitih operacija teorije skupova. Zakoni su takvi za bilo koja dva skupa i B:
- ( ∩ B)C = C U BC.
- ( U B)C = C ∩ BC.
Nakon što objasnimo što svaka od tih izjava znači, pogledat ćemo primjer svake korištene.
Postavite teorijske operacije
Da bismo razumjeli što govore De Morganovi zakoni, moramo se prisjetiti nekih definicija operacija teorije skupova. Konkretno, moramo znati za unija i križanje od dva seta i kompleta kompleta.
De Morganovi zakoni odnose se na interakciju unije, sjecišta i komplementa. Podsjetimo da:
- Sjecište skupova i B sastoji se od svih elemenata koji su zajednički obojici i B. Presjek je označen sa ∩ B.
- Zajedništvo skupova i B sastoji se od svih elemenata koji u bilo kojem ili B, uključujući elemente u oba skupa. Presjek je označen s A U B.
- Dopuna seta sastoji se od svih elemenata koji nisu elementi . Taj je komplement označen sa AC.
Sada kad smo se prisjetili tih osnovnih operacija, vidjet ćemo izjavu De Morganovih zakona. Za svaki par setova
i B imamo:- ( ∩ B)C = C U BC
- ( U B)C = C ∩ BC
Ove dvije izjave mogu se ilustrirati korištenjem Vennovih dijagrama. Kao što se vidi u nastavku, to možemo pokazati primjerom. Da bismo pokazali da su te izjave istinite, moramo dokazati ih primjenom definicija operacija teorije skupova.
Primjer De Morganovih zakona
Na primjer, razmotrite skup stvarni brojevi od 0 do 5. To pišemo u intervataciji [0, 5]. Unutar ovog skupa imamo = [1, 3] i B = [2, 4]. Nadalje, nakon primjene naših osnovnih operacija, imamo:
- Dopuna C = [0, 1) U (3, 5]
- Dopuna BC = [0, 2) U (4, 5]
- Unija U B = [1, 4]
- Raskrižje ∩ B = [2, 3]
Započinjemo izračunavanjem unije C U BC. Vidimo da je unija [0, 1) U (3, 5] s [0, 2) U (4, 5] jednaka [0, 2) U (3, 5]. Raskrižje ∩ B je [2, 3]. Vidimo da je komplement ovog skupa [2, 3] također [0, 2) U (3, 5]. Na ovaj smo način to i pokazali C U BC = ( ∩ B)C.
Sada vidimo sjecište [0, 1) U (3, 5] s [0, 2) U (4, 5] je [0, 1) U (4, 5]. Vidimo također da je komplement [1, 4] također [0, 1) U (4, 5]. Na ovaj smo način to i pokazali C ∩ BC = ( U B)C.
Imenovanje De Morganovih zakona
Kroz povijest logike ljudi poput Aristotel i William iz Ockhama dali su izjave ekvivalentne De Morganovim zakonima.
De Morganovi zakoni nazvani su po Augustusu De Morganu, koji je živio od 1806-1871. Iako nije otkrio ove zakone, bio je prvi koji je formalno predstavio te izjave koristeći matematičku formulaciju u logici prijedloga.