Kad ništa ne može biti nešto? Čini se glupim pitanjem i prilično paradoksalno. U matematičkom polju teorije skupova rutina je da ništa nije nešto drugo nego ništa. Kako to može biti?
Kad oblikujemo skup bez elemenata, više nemamo ništa. Imamo set bez ičega u sebi. Postoji poseban naziv za skup koji ne sadrži elemente. To se naziva prazan ili nulti skup.
Suptilna razlika
Definicija praznog skupa prilično je suptilna i zahtijeva malo razmišljanja. Važno je zapamtiti da mislimo na a set kao zbirka elemenata. Sam set razlikuje se od elemenata koje sadrži.
Na primjer, pogledat ćemo {5}, što je skup koji sadrži element 5. Skup {5} nije broj. Skup je to s brojem 5 kao elementom, dok je 5 broj.
Na sličan način prazan set nije ništa. Umjesto toga, skup je bez elemenata. Pomaže razmišljati o skupovima kao spremnicima, a elementi su one stvari koje stavimo u njih. Prazan spremnik i dalje je spremnik i analogan je praznom skupu.
Jedinstvenost praznog skupa
Prazan set jedinstven je, zbog čega je posve prikladno razgovarati
prazan set, nego prazan set. Time se prazan skup razlikuje od ostalih skupova. Postoji beskonačno mnogo setova s jednim elementom u njima. Skupovi {a}, {1}, {b} i {123} imaju svaki element, tako da su jednaki jedni drugima. Budući da su sami elementi različiti jedan od drugog, skupovi nisu jednaki.Nema ništa posebno u primjerima da svaki ima po jedan element. S jednom iznimkom, za bilo koji brojili broj ili beskonačnost, postoji beskonačno mnogo skupova te veličine. Izuzetak je broj nula. Postoji samo jedan set, prazan set, bez elemenata u njemu.
Matematički dokaz te činjenice nije težak. Prvo pretpostavljamo da prazan skup nije jedinstven, da postoje dva skupa bez elemenata u njima, a zatim koristimo nekoliko svojstava iz teorije skupova da pokažemo da ta pretpostavka podrazumijeva kontradikciju.
Notacija i terminologija za prazni set
Prazan skup označen je simbolom ∅, koji dolazi od sličnog simbola u danskoj abecedi. Neke se knjige odnose na prazan skup alternativnim nazivom null skupa.
Svojstva praznog skupa
Budući da postoji samo jedan prazan skup, vrijedno je vidjeti što se događa kad skup operacija sjecište, sjedinjenje i dopunjavanje koriste se s praznim skupom i općim skupom koji ćemo označiti po x. Zanimljivo je uzeti u obzir i podskup praznog skupa, a kada je prazni skup. Te su činjenice sakupljene u nastavku:
- križanje bilo kojeg skupa s praznim skupom je prazan skup. To je zato što u praznom skupu nema elemenata, pa dva skupa nemaju zajedničke elemente. U simbolima pišemo x ∩ ∅ = ∅.
- unija bilo kojeg skupa s praznim setom je skup s kojim smo započeli. To je zato što u praznom skupu nema elemenata, pa ne dodavamo nikakve elemente u drugi skup kad formiramo uniju. U simbolima pišemo x U ∅ = x.
- upotpuniti, dopuna praznog skupa je univerzalni skup za postavku u kojoj radimo. To je zato što je skup svih elemenata koji nisu u praznom skupu samo skup svih elemenata.
- Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa. To je zato što oblikujemo podskupove skupa x odabirom (ili ne izborom) elemenata iz x. Jedna od mogućnosti za podskup je da se uopće ne koriste elementi x. To nam daje prazan set.