Uzorkovanje sa ili bez zamjene

Statističko uzorkovanje može se izvesti na više različitih načina. Pored vrste metode uzorkovanja koju koristimo, postavlja se još jedno pitanje koje se konkretno događa s pojedincem koje smo odabrali nasumično. Ovo pitanje koje se postavlja prilikom uzorkovanja glasi: "Nakon što odaberemo pojedinca i zabilježimo mjerenje atributa koji proučavamo, što činiti s pojedincem?"

Postoje dvije mogućnosti:

• Pojedinca možemo zamijeniti natrag u bazen iz kojeg uzorkujemo.
• Možemo odabrati da ne zamijenimo pojedinca.

Vrlo lako možemo vidjeti da to vodi u dvije različite situacije. U prvoj mogućnosti zamjena ostavlja otvorenu mogućnost da se pojedinac slučajno bira drugi put. Za drugu opciju, ako radimo bez zamjene, nemoguće je dva puta odabrati istu osobu. Vidjet ćemo da će ta razlika utjecati na izračun vjerojatnosti povezanih s tim uzorcima.

Da biste vidjeli kako rukujemo zamjenom utječe na izračun vjerojatnosti, razmotrite sljedeće primjerno pitanje. Kolika je vjerojatnost izvlačenja dva asa iz a standardni špil karata?

Ovo je pitanje dvosmisleno. Što se događa nakon što izvučemo prvu kartu? Stavimo li ga nazad u palubu ili ga ostavljamo vani?

Započinjemo s izračunavanjem vjerojatnosti s zamjenom. Ima četiri asa i 52 karte, tako da je vjerojatnost izvlačenja jednog asa 4/52. Ako ovu karticu zamijenimo i ponovno izvučemo, vjerojatnost je opet 4/52. Ti su događaji neovisni, pa množimo vjerojatnosti (4/52) x (4/52) = 1/169, odnosno otprilike 0,592%.

Sada ćemo to usporediti s istom situacijom, s izuzetkom što kartice ne zamjenjujemo. Vjerojatnost izvlačenja asa u prvom izvlačenju je i dalje 4/52. Za drugu kartu pretpostavljamo da je već izvučen as. Sada moramo izračunati uvjetnu vjerojatnost. Drugim riječima, moramo znati kolika je vjerojatnost izvlačenja drugog asa, s obzirom da je prva karta također as.

Sada su preostala tri asa od ukupno 51 karte. Dakle, uvjetna vjerojatnost drugog asa nakon izvlačenja asa je 3/51. Vjerojatnost izvlačenja dva asa bez zamjene je (4/52) x (3/51) = 1/221, odnosno oko 0,425%.

Iz gornjeg problema vidimo izravno da ono što odlučimo učiniti zamjenom ima utjecaja na vrijednosti vjerojatnosti. Može značajno promijeniti ove vrijednosti.

Postoje neke situacije u kojima uzorkovanje sa ili bez zamjene ne mijenja značajne vjerojatnosti. Pretpostavimo da nasumično biramo dvije osobe iz grada s 50.000 stanovnika, od čega su 30.000 žene.

Ako uzorkujemo zamjenom, vjerojatnost odabira ženke pri prvom odabiru daje 30000/50000 = 60%. Vjerojatnost ženke na drugom izboru je i dalje 60%. Vjerojatnost obje žene da budu žene je 0,6 x 0,6 = 0,36.

Ako uzorkujemo bez zamjene, prva vjerojatnost ne utječe. Druga vjerojatnost je sada 29999/49999 = 0,5999919998..., što je izuzetno blizu 60%. Vjerojatnost da su oba ženska je 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Vjerojatnosti su tehnički različite, međutim, dovoljno su blizu da se gotovo ne mogu razlikovati. Iz tog razloga, iako uzorkujemo bez zamjene, selekciju svake jedinke tretiramo kao da je neovisna o ostalim pojedincima u uzorku.

Postoje i drugi slučajevi u kojima moramo razmotriti hoćemo li uzorkovati sa ili bez zamjene. Na primjeru je to početno podizati. Ova statistička tehnika spada pod naslov tehnike ponovnog oblikovanja.

U pokretanju programa započinjemo sa statističkim uzorkom populacije. Tada koristimo računalni softver za računanje uzoraka za pokretanje. Drugim riječima, računalo se ponovo zamijeni s početnim uzorkom.