Vjerojatnosti i lažljivice

Mnoge igre na sreću mogu se analizirati pomoću matematike vjerojatnosti. U ovom ćemo članku istražiti različite aspekte igre zvane Liar's Dice. Nakon opisa ove igre izračunat ćemo vjerojatnosti povezane s njom.

Igra lažljivih kockica zapravo je obitelj igara koje uključuju blefiranje i obmanju. Postoji nekoliko varijanti ove igre, a ona ima nekoliko različitih imena poput piratske kocke, obmane i duda. Verzija ove igre predstavljena je u filmu Pirates of the Karibbe: Dead Man’s Chest.

U verziji igre koju ćemo ispitati svaki igrač ima šalicu i set s istim brojem kockica. Kockice su standardne, šesterostrane kockice koje su brojene od jedan do šest. Svi valjaju svoje kockice, držeći ih pokrivenim šalicom. Igrač u odgovarajuće vrijeme pregledava svoj kockice, držeći ih skrivene od svih ostalih. Igra je osmišljena tako da svaki igrač ima savršeno znanje o vlastitom setu kockica, ali nema saznanja o ostalim kockicama koje su valjane.

Nakon što su svi imali priliku pogledati svoje kockice koje su se kotrljale, počinju ponude. Na svakom koraku igrač ima dva izbora: dati višu ponudu ili nazoviti prethodnu ponudu lažom. Licitacije se mogu povećati licitiranjem veće vrijednosti kockica od jedan do šest ili licitiranjem većeg broja iste vrijednosti kockica.

Na primjer, licitacija „Tri dvojke“ može se povećati navođenjem „Četiri dvojke“. Također bi se mogao povećati rekavši "Tri trojke." Općenito, ni broj kockica niti vrijednosti kockica ne mogu se smanjiti.

Budući da je većina kockica skrivena od pogleda, važno je znati izračunati neke vjerojatnosti. Znajući to, lakše je vidjeti koje su ponude vjerojatno istinite, a koje su vjerojatno laži.

Prvo je pitanje pitati: "Koliko bismo kockica iste vrste očekivali?" Na primjer, ako bacimo pet kockica, koliko bismo od njih očekivali da budu dvije? Odgovor na ovo pitanje koristi ideju očekivana vrijednost.

Očekivana vrijednost slučajne varijable vjerojatnost je određene vrijednosti pomnožena s ovom vrijednošću.

Vjerojatnost da je prvo umrijeti dvojica je 1/6. Budući da su kockice neovisne jedna o drugoj, vjerojatnost da je bilo koja od njih dvojica je 1/6. To znači da je očekivani broj valjanih dvojaka 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Naravno, nema ništa posebno u rezultatu dva. Niti ima nešto posebno u vezi s brojem kockica koji smo razmotrili. Ako smo se valjali n kockice, tada je očekivani broj bilo kojeg od šest mogućih ishoda n/6. Ovaj je broj dobro znati jer nam daje osnovnu osnovu za ispitivanje ponuda koje su dali drugi.

Na primjer, ako igramo kockice lažljivca sa šest kockica, očekivana vrijednost bilo koje od vrijednosti 1 do 6 je 6/6 = 1. To znači da bismo trebali biti skeptični ako netko ponudi više od jedne vrijednosti. Dugoročno bismo prosječno izračunali jednu od mogućih vrijednosti.

Pretpostavimo da smo kotrljali pet kockica i želimo otkriti vjerojatnost kotrljanja dvije trojke. Vjerovatnoća da je matrica trojka je 1/6. Vjerojatnost da matrica nije tri je 5/6. Rolne ovih kockica su neovisni događaji, pa vjerovatno množimo vjerojatnosti pomoću varijable pravilo množenja.

Vjerojatnost da su prve dvije kocke tri, a druge kocke nisu trice, daje sljedeći proizvod:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Prve dvije kockice koje imaju troje samo je jedna mogućnost. Kockice koje su trice mogu biti bilo koje dvije od pet kockica koje smo valjali. Označavamo matricu koja nije tri sa *. Sljedeći su mogući načini da se od pet valjaka naprave dvije trojke:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vidimo da postoji deset načina da se od pet kockica iskoči točno dvije trojke.

Sada množimo našu vjerojatnost iznad 10 načina na koje možemo imati ovu konfiguraciju kockica. Rezultat je 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. To je otprilike 16%.

Sada generaliziramo gornji primjer. Smatramo vjerojatnošću kotrljanja n kockice i dobivanje točno k koji imaju određenu vrijednost.

Baš kao i prije, vjerojatnost da ćemo proći sa željenim brojem je 1/6. Vjerojatnost da se ne pomakne taj broj daje vrijednost pravilo komplementa kao 5/6. Mi želimo k naše kockice da bude odabrani broj. Ovo znači to n - k su broj koji nije onaj koji želimo. Vjerojatnost prvog k kockice su određeni broj s drugim kockicama, a ne ovaj broj su:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Bilo bi naporno, a da ne spominjemo dugotrajno nabrajanje svih mogućih načina da se kocka određena konfiguracija kockica. Zato je bolje koristiti naša načela brojanja. Kroz ove strategije vidimo da računamo kombinacije.

Postoje C (n, k) načine valjanja k određene vrste kockica iz n kocke. Ovaj je broj dan formulom n!/(k!(n - k)!)

Da sve sastavimo, to vidimo kad smotamo n kockice, vjerojatnost da točno k od kojih je određeni broj dan formulom:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Postoji još jedan način razmatranja ove vrste problema. To uključuje binomna raspodjela s vjerojatnošću uspjeha koju daje p = 1/6. Formula točno k od kojih je određeni broj ovih kockica poznat kao funkcija vjerojatnosti mase binom distribucija.

Druga situacija koju bismo trebali razmotriti je vjerojatnost da će se barem određeni broj određene vrijednosti kotrljati. Na primjer, kada bacimo pet kockica, kolika je vjerojatnost da ćemo ih iskopati barem tri? Mogli bismo smotati tri, četiri ili pet. Da bismo odredili vjerojatnost koju želimo pronaći, zbrojimo tri vjerojatnosti.

Ispod imamo tablicu vjerojatnosti za točno dobivanje k određene vrijednosti kad smo valjali pet kockica.

Zatim razmotrimo sljedeću tablicu. To daje vjerojatnost da će se iskopati barem određeni broj vrijednosti kada bacimo ukupno pet kockica. Vidimo da, iako je velika vjerojatnost da će se baciti barem jedan, nije vjerovatno da će se odvesti barem četiri.