Matematička svojstva valova

Fizički valovi, ili mehanički valovi, formiraju se putem vibracije medija, bilo da je to niz, zemaljska kora ili čestice plinova i tekućina. Valovi imaju matematička svojstva koja se mogu analizirati kako bi se razumjelo gibanje vala. Ovaj je članak predstavio ta opća valna svojstva, a ne kako ih primijeniti u specifičnim fizičkim situacijama.

Postoje dvije vrste mehaničkih valova.

A je takav da su pomaci medija okomiti (poprečni) na smjer putovanja vala duž medija. Vibriranje niza u periodičnom gibanju pa se valovi kreću duž njega je poprečni val, kao što su valovi u oceanu.

uzdužni val je takav da su pomaci medija naprijed-nazad u istom smjeru kao i sam val. Zvučni valovi, gdje se čestice zraka guraju u smjeru vožnje, primjer je uzdužnog vala.

Iako će se valovi raspravljati u ovom članku odnositi se na putovanje u nekom mediju, ovdje uvedena matematika može se koristiti za analizu svojstava nemehaničkih valova. Na primjer, elektromagnetsko zračenje može putovati kroz prazan prostor, ali ipak ima ista matematička svojstva kao i ostali valovi. Na primjer, the

1. Valovi se mogu promatrati kao poremećaji u mediju oko ravnotežnog stanja, koji je uglavnom u mirovanju. Energija ovog poremećaja je ono što uzrokuje gibanje vala. Bazen vode je u ravnoteži kada nema valova, ali čim se u njega baci kamen, ravnoteža čestica se poremeti i započinje gibanje valova.
2. Poremećaj putovanja valova, ili propogates, s određenom brzinom, nazvana valna brzina (v).
3. Valovi transportiraju energiju, ali nije važno. Sam medij ne putuje; pojedine čestice se pokreću naprijed-natrag ili nagore-dolje oko ravnotežnog položaja.

Da bismo matematički opisali gibanje valova, odnosimo se na pojam a valna funkcija, koji opisuje položaj čestice u mediju u bilo kojem trenutku. Najosnovnija valna funkcija je sinusni val, odnosno sinusoidni val, a periodični val (tj. val s ponavljajućim gibanjem).

Važno je napomenuti da valna funkcija ne prikazuje fizički val, već je grafički prikaz pomicanja o ravnotežnom položaju. To može biti zbunjujući koncept, ali korisno je to što možemo upotrijebiti sinusoidni val da prikažemo većinu periodičnih pokreti, kao što su kretanje u krugu ili njihanje klatna, koji ne izgledaju nužno valovito kada gledate stvarne pokret.

• valna brzina (v) - brzina širenja vala
• amplituda () - najveća veličina pomaka iz ravnoteže, u SI jedinicama metara. Općenito, to je udaljenost od sredine ravnoteže vala do njegovog maksimalnog pomaka ili je polovina ukupnog pomaka vala.
• razdoblje (T) - je vrijeme jednog valnog ciklusa (dva impulsa, ili od grebena do grebena ili korita do korita), u jedinicama SI sekundi (iako se može nazvati "sekundi po ciklusu").
• frekvencija (f) - broj ciklusa u jedinici vremena. Jedinica frekvencije SI je hertz (Hz) i

  1 Hz = 1 ciklus / s = 1 s^-1

• kutna frekvencija (ω) - je 2π puta veća od frekvencije, u SI jedinicama radijana u sekundi.
• valna duljina (λ) - udaljenost između bilo koje dvije točke na odgovarajućim pozicijama na uzastopnim ponavljanjima u valu, tako da (na primjer) od jednog grebena ili korita do drugog, u SI jedinice metara.
• valni broj (k) - također se naziva konstanta širenja, ova korisna količina je definirana kao 2 π podijeljeno s valnom duljinom, pa su SI jedinice radijani po metru.
• puls - jedna polovina valne duljine, od ravnoteže natrag

Neke korisne jednadžbe u definiranju gornjih količina su:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = VK

Okomiti položaj točke na valu, y, mogu se naći kao funkcija vodoravnog položaja, xi vrijeme, t, kad ga pogledamo. Zahvaljujemo ljubaznim matematičarima što su radili ovaj posao umjesto nas i dobili sljedeće korisne jednadžbe za opisivanje gibanja valova:

y(x, t) = grijeh ω(t - x/v) = grijeh 2π f(t - x/v)

y(x, t) = grijeh 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = grijeh (ω t - kx)

Posljednja značajka valne funkcije je ona primjena račun da se uzme drugi derivat daje valna jednadžba, što je intrigantan i ponekad koristan proizvod (koji ćemo se još jednom zahvaliti matematičarima i prihvatiti, a da to ne dokažemo):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Drugi derivat od y s poštovanjem x ekvivalentno je drugom derivatu y s poštovanjem t podijeljeno s kvadratom brzine vala. Ključna korisnost ove jednadžbe je ta kad god se dogodi, znamo da je funkcija y djeluje kao val s brzinom vala v i stoga, situacija se može opisati pomoću valne funkcije.