Izračuni pomoću gama funkcije

gama funkcija definira se sljedećom složenom formulom izgleda:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Jedno pitanje koje ljudi imaju kada se prvi put susreću s ovom zbunjujućom jednadžbom glasi: "Kako koristite ovu formulu za izračunavanje vrijednosti gama funkcija? " Ovo je važno pitanje jer je teško znati što ta funkcija uopće znači i što svi simboli stoje za.

Jedan od načina da se odgovori na ovo pitanje je pogled na nekoliko uzoraka izračuna s gama funkcijom. Prije nego što to učinimo, moramo znati nekoliko stvari iz računice, poput toga kako integrirati neprimjereni integral tipa I i to e matematička konstanta.

Prije nego što napravimo bilo kakve proračune, ispitujemo motivaciju koja stoji iza ovih izračuna. Mnogo puta gama funkcije se pojavljuju iza scene. Nekoliko funkcija gustoće vjerojatnosti navedeno je u smislu gama funkcije. Primjeri uključuju distribuciju gama i t-distribuciju učenika. Važnost gama funkcije ne može se precijeniti.

Prvi primjer izračuna koji ćemo proučiti jest pronalaženje vrijednosti gama funkcije za Γ (1). To se utvrđuje postavljanjem

∫₀^∞e ^{- t}dt

Gornji integral izračunavamo u dva koraka:

• Neodređeni integral ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• To je neispravan integral, pa imamo ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Sljedeći primjer izračuna koji ćemo razmotriti sličan je posljednjem primjeru, ali povećavamo vrijednost z prema 1. Sada izračunavamo vrijednost gama funkcije za Γ (2) postavljanjem z = 2 u gornjoj formuli. Koraci su isti kao gore:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Neodređeni integral ∫TE ^{- t}dt=- Te ^{- t} -e ^{- t} + C. Iako smo samo povećali vrijednost z prema 1, treba više rada da se izračuna ovaj integral. Da bismo pronašli ovaj integral, moramo koristiti tehniku ​​poznatu kao integracija po dijelovima. Sada koristimo granice integracije kao gore, i moramo izračunati:

lim_{b → ∞}- biti ^{- b} -e ^{- b} -0E ⁰ + e ⁰.

Rezultat izračuna, poznat kao L'Hospital-ovo pravilo, omogućava nam izračunavanje granične limite_{b → ∞}- biti ^{- b} = 0. To znači da je vrijednost našeg gore navedenog integralnog broja 1.

Još jedna značajka gama funkcije i ona koja je povezuje sa faktorijel je formula Γ (z +1 ) =zΓ (z ) za z bilo koji složeni broj s pozitivnom stvaran dio. Razlog zašto je to istina izravni je rezultat formule gama funkcije. Pomoću integracije po dijelovima možemo uspostaviti ovo svojstvo gama funkcije.