Kolika je očekivana vrijednost u vjerojatnosti?

Na karnevalu ste i vidite utakmicu. Za 2 dolara kotrljate standardni šesterostrani kalup. Ako je broj koji prikazuje šest, dobit ćete 10 USD, u protivnom ne dobijate ništa. Ako pokušavate zaraditi, je li vam u interesu igrati igru? Za odgovor na takvo pitanje potreban nam je koncept očekivane vrijednosti.

Očekivanu vrijednost zaista se može smatrati sredstvom slučajne varijable. To znači da ako ste pokrenuli eksperiment vjerojatnosti iznova i iznova, prateći rezultate, očekivana vrijednost je vrijednost prosječan od svih dobivenih vrijednosti. Očekivana vrijednost je ono što biste trebali pretpostaviti da će se dogoditi dugoročno u mnogim suđenjima igre na sreću.

Gore spomenuta karnevalska igra primjer je diskretne slučajne varijable. Varijabla nije kontinuirana i svaki ishod dolazi do nas u broju koji se može izdvojiti od ostalih. Da biste pronašli očekivanu vrijednost igre koja ima ishode x₁, x₂,..., x_n s vjerojatnostima p₁, p₂,... , p_n, izračunajte:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

Za gornju igru ​​imate 5/6 vjerojatnosti da ništa ne dobijete. Vrijednost ovog ishoda je -2 jer ste za igranje igre potrošili 2 dolara. Šest ima 1/6 vjerojatnost pojavljivanja, a ta vrijednost ima ishod 8. Zašto 8, a ne 10? Opet moramo računati za 2 dolara koja smo platili za igranje, a 10 - 2 = 8.

Sada uključite ove vrijednosti i vjerojatnosti u očekivane formula vrijednosti i završite s: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. To znači da biste s dugoročnim očekivanjem trebali očekivati ​​da izgubite u prosjeku oko 33 centa svaki put kada igrate ovu igru. Da, ponekad ćete pobijediti. Ali gubit ćete češće.

Sad pretpostavimo da je karnevalska igra malo izmijenjena. Za istu ulaznicu od 2 USD, ako je prikazan broj šest, tada osvojite 12 USD, u suprotnom, ne dobijate ništa. Očekivana vrijednost ove igre je -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Dugoročno nećete izgubiti novac, ali nećete ni osvojiti. Nemojte očekivati ​​da ćete na lokalnom karnevalu vidjeti igru ​​s ovim brojevima. Ako dugoročno nećete izgubiti novac, onda karneval neće zaraditi.

Sada se okrenite kazinu. Na isti način kao i prije, možemo izračunati očekivanu vrijednost igara na sreću, poput ruleta. U SAD-u kolu s ruletom ima 38 numeriranih utora od 1 do 36, 0 i 00. Polovina 1-36 je crvena, polovina crna. I 0 i 00 su zelene boje. Lopta nasumično slijeće u jedan od mjesta, a oklade su postavljene tamo gdje će lopta sletjeti.

Jedna od najjednostavnijih oklada je oklada na crveno. Ovdje ako uložite 1 USD i lopta padne na crveni broj u kolu, tada ćete osvojiti 2 USD. Ako lopta sleti na crni ili zeleni prostor u kolu, tada ništa ne dobijate. Koja je očekivana vrijednost na okladi poput ove? Budući da postoji 18 crvenih razmaka, vjerojatnost pobjede 18/38, s neto dobiti od 1 USD. Postoji 20/38 vjerojatnost da ćete izgubiti početnu okladu od 1 USD. Očekivana vrijednost ove oklade u rulet iznosi 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, što je oko 5,3 centa. Ovdje kuća ima blagi rub (kao i kod svih kasino igara).

Kao još jedan primjer, pogledajte a lutrija. Iako se milijuni mogu osvojiti za cijenu ulaznice od 1 USD, očekivana vrijednost igre na lutriji pokazuje koliko je nepravedno konstruirana. Pretpostavimo da za 1 USD odaberete šest brojeva od 1 do 48. Vjerojatnost odabira svih šest brojeva je 1 / 12,271,512. Ako osvojite milijun dolara za ispravnih svih šest, koja je očekivana vrijednost ove lutrije? Moguće vrijednosti su - 1 USD za gubitak i 999,999 USD za pobjedu (opet moramo uzeti u obzir troškove igranja i oduzeti ih od dobitka). To nam daje očekivanu vrijednost:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Dakle, ako biste igrali lutriju iznova i iznova, dugoročno gubite oko 92 centa - gotovo cijelu cijenu ulaznice - svaki put kada igrate.

Svi gornji primjeri izgledaju diskretno nasumična varijabla. Međutim, moguće je definirati i očekivanu vrijednost za kontinuiranu slučajnu varijablu. Sve što u ovom slučaju moramo učiniti jest da zbroj u našoj formuli zamijenimo integralom.

Važno je zapamtiti da je očekivana vrijednost prosječna nakon mnogih ispitivanja od slučajni postupak. U kratkom roku, prosjek slučajne varijable može značajno varirati od očekivane vrijednosti.