Razlika dva skupa, pisano - B je skup svih elemenata koji nisu elementi B. Operacija razlike, zajedno s unijom i sjecištem, bitna je i operacija temeljne teorije skupova.
Opis razlike
O oduzimanju jednog broja od drugog može se razmišljati na mnogo različitih načina. Jedan model pomaganja u razumijevanju ovog koncepta naziva se model odvoza oduzimanje. U ovome bi problem 5 - 2 = 3 bio pokazan počevši od pet objekata, uklonivši dva od njih i računajući da su ostala tri. Na sličan način na koji nalazimo razliku između dva broja, možemo pronaći i razliku dvaju skupova.
Primjer
Pogledat ćemo primjer zadane razlike. Da vidim kako je razlika dva setovi tvori novi skup, razmotrimo skupove = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Da biste pronašli razliku - B od ta dva skupa započinjemo s pisanjem svih elemenata i zatim im oduzeti svaki element to je ujedno i element B. Od dijeli elemente 3, 4 i 5 sa B, to nam daje postavljenu razliku - B = {1, 2}.
Redoslijed je važan
Kao što nam razlike 4 - 7 i 7 - 4 daju različite odgovore, moramo biti oprezni u redoslijedu izračunavanja zadane razlike. Da upotrijebimo tehnički izraz iz matematike, rekli bismo da postavljena operacija razlike nije komutativna. To znači da općenito ne možemo promijeniti redoslijed razlike dvaju setova i očekivati isti rezultat. Točnije to možemo reći za sve skupove
i B, - B nije jednak B - .Da biste to vidjeli, vratite se na gornji primjer. To smo izračunali za skupove = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, razlika - B = {1, 2 }. Da bismo to usporedili sa B - A, započinjemo s elementima B, koji su 3, 4, 5, 6, 7, 8, a zatim uklonite 3, 4 i 5 jer su ti zajednički s . Rezultat je B - = {6, 7, 8 }. Ovaj primjer nam to jasno pokazuje A - B nije jednak B - A.
Dopuna
Jedna vrsta razlike dovoljno je bitna da jamči svoje posebno ime i simbol. To se naziva komplement, a koristi se za postavljenu razliku kada je prvi set je univerzalni skup. Dopuna od daje se izrazom U - . To se odnosi na skup svih elemenata u univerzalnom skupu koji nisu elementi . Budući da se podrazumijeva da skup elemenata koje možemo izabrati uzete su iz univerzalnog skupa, možemo jednostavno reći da je komplementacija je skup koji se sastoji od elemenata koji nisu elementi .
Komplement kompleta je u odnosu na univerzalni skup s kojim radimo. S = {1, 2, 3} i U = {1, 2, 3, 4, 5}, komplement od je {4, 5}. Ako je naš univerzalni skup drugačiji, recimo U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, zatim komplement od {-3, -2, -1, 0}. Uvijek pazite na to koji se univerzalni set koristi.
Napomena za dopunu
Riječ "komplement" započinje slovom C, pa se to koristi u notaciji. Dopuna seta je napisan kao C. Na taj način možemo u simbolima izraziti definiciju komplementa: C = U - .
Drugi način koji se uobičajeno koristi za označavanje komplementa skupa uključuje apostrofu i piše se kao '.
Ostali identiteti koji uključuju razliku i nadopune
Postoji mnogo postavljenih identiteta koji uključuju upotrebu razlika i operacija dopunjavanja. Neki identiteti kombiniraju druge skupocjene operacije kao što su križanje i unija. U nastavku je navedeno nekoliko važnijih. Za sve setove , i B i D imamo:
- - =∅
- - ∅ =
- ∅ - = ∅
- - U = ∅
- (C)C =
- DeMorgan-ov zakon I: ( ∩ B)C = C ∪ BC
- DeMorgan-ov zakon II: ( ∪ B)C = C ∩ BC