Binomna distribucija uključuje a diskretna nasumična varijabla. Vjerojatnosti u binomnom okruženju može se izračunati izravnim korištenjem formule za binomni koeficijent. Iako je u teoriji ovo jednostavno izračunavanje, u praksi može postati prilično zamorno ili čak računski nemoguće izračunati binomne vjerojatnosti. Te se poteškoće mogu upotrijebiti korištenjem a normalna distribucijada se približi binomna raspodjela. Vidjet ćemo kako to učiniti prolazeći kroz korake izračuna.
Koraci za korištenje normalne aproksimacije
Prvo moramo utvrditi je li prikladno koristiti normalnu aproksimaciju. Nije svaki binomna raspodjela je isti. Neki pokazuju dovoljno asimetrija da ne možemo koristiti normalnu aproksimaciju. Da bismo provjerili treba li se upotrebljavati normalna aproksimacija, moramo pogledati vrijednost p, što je vjerojatnost uspjeha, i n, što je broj naših opažanja binomna varijabla.
Da bismo iskoristili normalnu aproksimaciju, uzmemo u obzir i jedno i drugo np i n( 1 - p ). Ako su oba ova broja veća od 10 ili jednaka, opravdano je korištenje normalne aproksimacije. Ovo je opće pravilo i obično su veće vrijednosti od
np i n( 1 - p ), bolji je aproksimacija.Usporedba između binomne i normalne
Usporedit ćemo točnu binomnu vjerojatnost s onom dobivenom normalnom aproksimacijom. Smatramo bacanjem 20 novčića i želimo znati vjerojatnost da su pet ili manje kovanica bile glave. Ako x je broj glava, tada želimo pronaći vrijednost:
P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) + P (x = 4) + P (x = 5).
upotreba binomne formule za svaku od ovih šest vjerojatnosti pokazuje nam da je vjerojatnost 2.0695%. Sada ćemo vidjeti koliko će se naša normalna aproksimacija približiti toj vrijednosti.
Provjeravajući uvjete, vidimo da su i jedno i drugo np i np(1 - p) jednaki su 10. To pokazuje da u ovom slučaju možemo upotrijebiti normalnu aproksimaciju. Koristit ćemo normalnu distribuciju sa srednjim vrijednostima np = 20 (0,5) = 10 i standardno odstupanje od (20 (0,5) (0,5))0.5 = 2.236.
Da bi se utvrdila vjerojatnost da x je manje od ili jednako 5 koje trebamo pronaći z-zabilježite 5 u normalnoj distribuciji koju koristimo. Tako z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. Savjetovanjem sa tablicom od z-očekujemo da je vjerojatnost da z je manje ili jednako -2.236 je 1.267%. To se razlikuje od stvarne vjerojatnosti, ali je unutar 0,8%.
Faktor korekcije kontinuiteta
Da bismo poboljšali našu procjenu, prikladno je uvesti faktor korekcije kontinuiteta. To se koristi jer a normalna distribucija je stalan dok binomna raspodjela je diskretna. Za binomnu slučajnu varijablu, histogram vjerojatnosti za x = 5 će uključivati traku koja ide od 4,5 do 5,5 i centrirana je u 5.
To znači da je za gornji primjer vjerojatnost da x je manja ili jednaka 5 za binomnu varijablu treba procijeniti na vjerojatnost da x je manje ili jednako 5,5 za kontinuiranu normalnu varijablu. Tako z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. Vjerojatnost da z