srednja skupa podataka je srednja točka u kojoj je točno polovica vrijednosti podataka manja ili jednaka srednjoj. Na sličan način možemo razmišljati o medijanici a stalanraspodjela vjerojatnosti, ali umjesto da nađemo srednju vrijednost u skupu podataka, sredinu distribucije pronalazimo na drugačiji način.
Ukupna površina u funkciji gustoće vjerojatnosti je 1, što predstavlja 100%, i kao rezultat, polovica toga može se predstavljati polovinom ili 50 posto. Jedna od velikih ideja matematičke statistike je da je vjerojatnost predstavljena površinom ispod krivulje funkcija gustoće, koja se izračunava integralom, pa je tako medijan kontinuirane raspodjele točka na pravi broj crta gdje točno polovica područja leži s lijeve strane.
To se može sažetije izraziti slijedećim nepravilnim integralom. Medijan kontinuirane slučajne varijable x s funkcijom gustoće f( x) je vrijednost M takva da:
0.5=∫m−∞f(x)dx
Medijan za eksponencijalnu raspodjelu
Sada izračunavamo medijanu za eksponencijalnu raspodjelu Exp (A). Nasumična varijabla s ovom raspodjelom ima funkciju gustoće f(x) = e-x/ A/ A za x bilo koji negativni realni broj. Funkcija također sadrži matematička konstanta e, približno jednak 2.71828.
Budući da je funkcija gustoće vjerojatnosti jednaka bilo kojoj negativnoj vrijednosti x, sve što moramo učiniti je integrirati sljedeće i riješiti se za M:
0,5 = ∫0M f (x) dx
Budući da je integral ∫ e-x/ A/ A dx = -e-x/ A, rezultat je taj
0,5 = -e-M / A + 1
To znači da je 0,5 = e-M / A i nakon prirodnog logaritma obje strane jednadžbe, dobili smo:
ln (1/2) = -M / A
Budući da je 1/2 = 2-1, po svojstvima logaritama pišemo:
- ln2 = -M / A
Pomnožavanje obje strane s A daje nam rezultat da je medijan M = A ln2.
Srednja srednja nejednakost u statistici
Treba spomenuti jednu posljedicu ovog rezultata: sredina eksponencijalne raspodjele Exp (A) je A, a budući da je ln2 manji od 1, slijedi da je produkt Aln2 manji od A. To znači da je medijan eksponencijalne distribucije manji od srednje vrijednosti.
To ima smisla ako razmišljamo o grafu funkcije gustoće vjerojatnosti. Zbog dugačkog repa ova se raspodjela iskrivljava udesno. Mnogo puta kad je raspodjela nagnuta udesno, srednja vrijednost je desno od medijale.
Što to znači u smislu statističke analize, je da često možemo predvidjeti da srednja vrijednost i srednja vrijednost ne djeluju izravno koreliraju s obzirom na vjerojatnost da su podaci ukošeni na desnu stranu, što se može izraziti kao srednja vrijednost nejednakosti poznat kao Čebiševa nejednakost.
Kao primjer, uzmite u obzir skup podataka koji kaže da osoba prima ukupno 30 posjetitelja u 10 sati, pri čemu je prosječno vrijeme čekanja posjetitelja 20 minuta, dok skup podataka može pokazati da bi prosječno vrijeme čekanja bilo negdje između 20 i 30 minuta, kada bi više od polovice tih posjetitelja došlo u prvih pet sati.