Čebiševa nejednakost u vjerojatnosti

Čebiševa nejednakost kaže da je najmanje 1-1 /K² podaci iz uzorka moraju biti unutar K standardna odstupanja od srednje vrijednosti (ovdje K je li pozitivan pravi broj veći od jednog).

Bilo koji skup podataka koji se obično distribuira ili je u obliku a krivulja zvona, ima nekoliko značajki. Jedan od njih bavi se širenjem podataka u odnosu na broj standardnih odstupanja od srednje vrijednosti. U normalnoj distribuciji znamo da je 68% podataka jedno standardno odstupanje od srednje vrijednosti, 95% dva standardna odstupanja od srednje vrijednosti, a približno 99% je unutar tri standardna odstupanja od srednje vrijednosti.

Ali ako skup podataka ne bude distribuiran u obliku krivulje zvona, drugačija količina može biti unutar jednog standardnog odstupanja. Čebiševa nejednakost pruža način da se zna u koji dio podataka spada K standardna odstupanja od srednje vrijednosti za bilo koji skup podataka.

Gore navedenu nejednakost možemo navesti i zamjenom izraza "podaci iz uzorka" s

Važno je napomenuti da je ta nejednakost rezultat koji je matematički dokazan. Nije poput empirijski odnos između srednje i načina, ili the pravilo palca koji povezuje raspon i standardno odstupanje.

Da bismo ilustrirali nejednakost, razmotrit ćemo je sa nekoliko vrijednosti K:

• Za K = 2 imamo 1 - 1 /K² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Dakle, nejednakost Chebysheva kaže da najmanje 75% podataka vrijednosti bilo koje distribucije mora biti unutar dva standardna odstupanja od srednje vrijednosti.
• Za K = 3 imamo 1 - 1 /K² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Dakle, nejednakost Chebysheva kaže da najmanje 89% podataka vrijednosti bilo koje distribucije mora biti unutar tri standardna odstupanja od srednje vrijednosti.
• Za K = 4 imamo 1 - 1 /K² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Dakle, nejednakost Chebysheva kaže da najmanje 93,75% podataka vrijednosti bilo koje distribucije mora biti unutar dva standardna odstupanja od srednje vrijednosti.

Pretpostavimo da smo uzorkovali utege pasa u lokalnom prihvatilištu za životinje i otkrili da naš uzorak ima prosjek od 20 kilograma sa standardnim odstupanjem od 3 kilograma. Upotrebom Čebiševe nejednakosti znamo da najmanje 75% pasa koje smo uzorkovali ima utege koji su dva standardna odstupanja od srednje vrijednosti. Dva puta standardno odstupanje daje nam 2 x 3 = 6. Oduzmite i zbrojite to od prosjeka 20. To nam govori da 75% pasa ima težinu od 14 kilograma do 26 kilograma.

Ako znamo više o distribuciji s kojom radimo, obično možemo jamčiti da je više podataka određeni broj standardnih odstupanja daleko od srednje vrijednosti. Na primjer, ako znamo da imamo normalnu distribuciju, tada su 95% podataka dva standardna odstupanja od srednje vrijednosti. Čebiševa nejednakost kaže da u ovoj situaciji to znamo barem 75% podataka je dva standardna odstupanja od srednje vrijednosti. Kao što vidimo u ovom slučaju, to bi moglo biti puno više od ovih 75%.

Vrijednost nejednakosti je u tome što nam daje "lošiji slučaj" scenarij u kojem je jedino što znamo o našim uzorcima podataka (ili distribuciji vjerojatnosti) srednja i standardno odstupanje. Kad ne znamo ništa više o našim podacima, Čebiševa nejednakost pruža dodatni uvid u raširenost skupa podataka.

Nejednakost je dobila ime po ruskom matematičaru Pafnutyju Čebiševu, koji je nejednakost prvi izjavio bez dokaza 1874. godine. Deset godina kasnije nejednakost je dokazao Markov u svom doktoratu. disertacija. Zbog razlika u načinu predstavljanja ruske abecede na engleskom jeziku, Chebyshev je također napisan kao Tchebysheff.