Bell krivulje pojavljuju se kroz statistiku. Različita mjerenja poput promjera sjemenki, duljine ribljih peraja, rezultata na SAT-u i težine pojedinih listova rebrastog papira, formiraju se zvonaste krivulje kada se uhvataju. Opći oblik svih ovih krivulja je isti. Ali sve su te krivulje različite jer je vrlo malo vjerojatno da bilo koja od njih ima istu srednju vrijednost ili standardnu devijaciju. Zvonaste krivulje s velikim standardnim odstupanjima su široke, a zvonaste krivulje s malim standardnim odstupanjima mršave. Krivulje zvona s većim sredstvima pomaknute su više udesno od onih s manjim sredstvima.
Primjer
Da bismo ovo učinili malo konkretnijim, pretvarajmo se da mjerimo promjere od 500 zrna kukuruza. Zatim bilježimo, analiziramo i graficiramo te podatke. Utvrđeno je da je skup podataka oblikovan kao zvonasta krivulja i ima srednju vrijednost 1,2 cm sa standardnim odstupanjem od 4,4 cm. Pretpostavimo da sada isto postupimo s 500 graha i ustanovimo da imaju srednji promjer od .8 cm sa standardnim odstupanjem od .04 cm.
Krivulje zvona iz ta dva skupa podataka prikazane su gore. Crvena krivulja odgovara podacima kukuruza, a zelena krivulja odgovara podacima o grahu. Kao što vidimo, centri i širine ove dvije krivulje su različiti.
To su jasno dvije različite krivulje zvona. Različiti su jer im sredstva i standardna odstupanja Ne podudaraj se. Budući da svaki zanimljiv skup podataka na koji naiđemo može imati bilo koji pozitivan broj kao standardno odstupanje, a bilo koji broj za srednju vrijednost, stvarno stvarno grebamo po površini beskonačan broj krivulja zvona. To je puno krivulja i previše previše za rješavanje. Što je rješenje?
Vrlo posebna krivulja zvona
Jedan je cilj matematike generalizirati stvari kad god je to moguće. Ponekad je nekoliko pojedinačnih problema poseban slučaj jednog problema. Ova situacija koja uključuje krivulje zvona je sjajna ilustracija toga. Umjesto da se bavimo beskonačnim brojem krivulja zvona, možemo ih sve povezati s jednom krivuljom. Ova posebna krivulja zvona naziva se standardna krivulja zvona ili standardna normalna raspodjela.
Standardna krivulja zvona ima srednju vrijednost nula i standardno odstupanje od jedne. Bilo koja druga krivulja zvona može se usporediti s ovim standardom pomoću a izravan izračun.
Značajke standardne normalne distribucije
Sva svojstva bilo koje krivulje zvona imaju za normalan normalan raspored.
- Standardna normalna raspodjela ima ne samo srednju vrijednost nule već i srednju vrijednost i nulu. Ovo je središte krivulje.
- Standardna normalna raspodjela pokazuje simetriju zrcala na nuli. Polovina krivulje je lijevo od nule, a polovica krivulje je desno. Ako bi se krivulja savila duž okomite crte na nuli, obje bi se polovice savršeno složile.
- Standardna normalna raspodjela slijedi pravilo 68-95-99.7, što nam daje jednostavan način za procjenu sljedećeg:
- Otprilike 68% svih podataka nalazi se između -1 i 1.
- Otprilike 95% svih podataka nalazi se između -2 i 2.
- Otprilike 99,7% svih podataka nalazi se između -3 i 3.
Zašto nas je briga
U ovom trenutku, možda ćemo se pitati: "Zašto se gnjaviti sa standardnom krivuljom zvona?" Možda se čini nepotrebnom komplikacijom, ali standardna krivulja zvona će biti korisna dok nastavimo sa statistikama.
Otkrićemo da jedna vrsta problema u statistici zahtijeva da pronađemo područja ispod dijelova bilo koje krivulje zvona na koju nailazimo. Krivulja zvona nije lijepog oblika za područja. Nije poput pravokutnika ili desni trokut koje imaju lako formule područja. Pronalaženje područja dijelova krivulje zvona može biti teško, u stvari toliko teško da bismo morali upotrijebiti neke proračune. Ako ne standardiziramo svoje krivulje zvona, trebali bismo izvršiti određeni proračun svaki put kad želimo pronaći područje. Ako standardiziramo svoje krivulje, sav posao izračunavanja površina učinjen je za nas.