Koncept očekivana vrijednost može se koristiti za analizu casino igre u ruletu. Ovu ideju možemo iskoristiti iz vjerojatnosti da bismo odredili koliko ćemo novca dugoročno izgubiti igrajući rulet.
pozadina
Kolo ruleta u SAD-u sadrži 38 prostora jednake veličine. Kotač se zavrti i lopta nasumično spušta u jedan od tih prostora. Dva su prostora zelena i na njima su brojevi 0 i 00. Ostali razmaci su numerirani od 1 do 36. Polovina ovih preostalih prostora je crvena, a polovina crna. Različiti oklade mogu se načiniti na mjestu gdje će lopta završiti pri slijetanju. Uobičajena oklada je odabir boje, poput crvene i oklade da će lopta sletjeti na bilo koji od 18 crvenih razmaka.
Vjerojatnosti za ruletu
Budući da su razmaci iste veličine, lopta je podjednako vjerovatno sletjeti u bilo koji od prostora. To znači da rulet kotač uključuje uniformu raspodjela vjerojatnosti. Vjerojatnosti koje će nam trebati za izračunavanje naše očekivane vrijednosti su sljedeće:
- Ima ukupno 38 prostora, pa je vjerojatnost da lopta sleti na jedan određeni prostor 1/38.
- Postoji 18 crvenih razmaka, pa je vjerojatnost da će se crvena pojaviti 18/38.
- Postoji 20 razmaka koji su crni ili zeleni, pa je vjerojatnost da se ne pojavi crvena 20/38.
Nasumična varijabla
Neto dobitak na okretnom kolu može se smatrati diskretnom slučajnom varijabli. Ako se uložimo 1 USD na crveno i pojavi se crveno, tada dobivamo nazad naš dolar i još jedan dolar. To rezultira neto dobitkom od 1. Ako uložimo 1 USD na crveno i zeleno ili crno, tada gubimo dolar na koji se kladimo. To rezultira neto dobitkom od -1.
Nasumična varijabla X definirana kao neto dobitak od klađenja na crveno u ruletu uzimat će vrijednost 1 s vjerojatnošću 18/38 i uzimati vrijednost -1 s vjerojatnošću 20/38.
Proračun očekivane vrijednosti
Navedene podatke koristimo s formula za očekivanu vrijednost. Budući da imamo diskretnu slučajnu varijablu X za neto dobitak, očekivana vrijednost klađenja $ 1 na crveno u ruletu je:
P (crvena) x (vrijednost X za crveno) + P (nije crveno) x (vrijednost X za ne crveno) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.
Tumačenje rezultata
Pomaže se sjetiti značenja očekivane vrijednosti za tumačenje rezultata ovog izračuna. Očekivana vrijednost uvelike je mjerenje središta ili prosjeka. Označava što će se dugoročno događati svaki put kada na 1 crveni uložimo 1 USD.
Iako u kratkom roku možemo pobijediti nekoliko puta zaredom, dugoročno gledano gubit ćemo u prosjeku više od 5 centi svaki put kada igramo. Prisutnost prostora 0 i 00 dovoljno je samo da kući donese blagu prednost. Ta je prednost toliko mala da je može biti teško otkriti, ali na kraju kuća uvijek pobjeđuje.