Vjerojatnost male Straight u Yahtzee u jednom kolu

Yahtzee je igra s kockicama koja koristi pet standardnih kockica sa šest stranica. Na svakom koraku daju se igrači tri peciva za postizanje nekoliko različitih ciljeva. Nakon svakog bacanja, igrač može odlučiti koju od kockica (ako ih ima) zadržati, a koje treba izmjeriti. Ciljevi uključuju različite vrste kombinacija, od kojih su mnoge preuzete sa pokera. Svaka različita kombinacija vrijedi različitog broja bodova.

Nazivaju se dvije vrste kombinacija koje igrači moraju kotrljati skale: mala ravna i velika ravna. Kao i druge pokera, ove kombinacije se sastoje od sekvencijalnih kockica. Male strelice zapošljavaju četiri od pet kockica i velike ravne koristite svih pet kockica. Zbog slučajnosti kotrljanja kockica, vjerojatnost se može upotrijebiti za analizu vjerojatnosti da se jedna mala kolutica valjaju ravno.

Pretpostavljamo da su kockice korištene fer i neovisne jedna o drugoj. Na taj način postoji ujednačen prostor za uzorke koji se sastoji od svih mogućih valjaka pet kockica. Iako

Budući da surađujemo sa uniformauzorak prostora, izračunavanje naše vjerojatnosti postaje izračun nekoliko problema brojanja. Vjerojatnost male ravnice je broj načina namotavanja male ravno, podijeljen s brojem rezultata u prostoru uzorka.

Vrlo je lako prebrojati broj rezultata u uzorku. Mi smo izbacili pet kockica i svaka od tih kockica može imati jedan od šest različitih rezultata. Osnovna primjena principa množenja govori o tome da uzorak ima 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 ishoda. Taj će broj biti nazivnik ulomaka koji koristimo za našu vjerojatnost.

Zatim trebamo znati na koji način postoji mali ravni. To je teže nego izračunati veličinu prostora za uzorke. Započinjemo s brojenjem koliko je mogućih pramenova.

Mala ravno je lakše kotrljati se od velike ravne, međutim, teže je brojati broj načina kotanja ove vrste ravno. Mala ravna sastoji se od točno četiri uzastopna broja. Budući da postoji šest različitih lica matrice, postoje tri moguće male ravnice: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} i {3, 4, 5, 6}. Poteškoća se javlja pri razmatranju onoga što se događa s petom matricom. U svakom od tih slučajeva, peta matrica mora biti broj koji ne stvara veliku ravno. Na primjer, ako su prve četiri kocke bile 1, 2, 3 i 4, peti umor mogao bi biti bilo koji drugi osim 5. Da je peti umor bio 5, tada bismo imali veliku ravnicu, a ne malu.

To znači da postoji pet mogućih valjaka koji daju malu ravno {1, 2, 3, 4}, pet mogućih valjci koji daju male ravno {3, 4, 5, 6} i četiri moguća valjaka koja daju malu ravno {2, 3, 4, 5}. Ovaj posljednji slučaj je drukčiji, jer će se kotrljanjem 1 ili 6 za peti umor pretvoriti {2, 3, 4, 5} u veliku ravnicu. To znači da postoji 14 različitih načina na koji nam pet kockica može dati malu ravno.

Sada određujemo različit broj načina namotavanja određenog niza kockica koje nam daju ravno. Budući da samo moramo znati na koji način to možemo učiniti, možemo koristiti neke osnovne tehnike brojanja.

Od 14 različitih načina dobivanja malih pramenova, samo su dva {1,2,3,4,6} i {1,3,4,5,6} skupovi s različitim elementima. Ima ih 5! = 120 načina da se valja svaki za ukupno 2 x 5! = 240 malih pramenova.

Ostalih 12 načina da imaju malu ravnicu tehnički su višestruke, jer svi sadrže ponovljeni element. Za jedan određeni multiset, kao što je [1,1,2,3,4], prebrojat ćemo broj različitih načina da se ovo provede. Zamislite kockice kao pet položaja zaredom:

• Postoji C (5,2) = 10 načina da dva ponovljena elementa smjestite među pet kockica.
• Postoje 3! = 6 načina slaganja tri različita elementa.

Načelom množenja postoji 6 x 10 = 60 različitih načina da se kockice 1,1,2,3,4 kotrljaju u jednom kolu.

Postoji 60 načina da se jedna takva mala ravno izbaci s ovom petom matricom. Budući da 12 multisetova pruža različite popise pet kockica, postoji 60 x 12 = 720 načina da se malo napravi ravno u kojem se dvije kockice podudaraju.

Ukupno ih ima 2 x 5! + 12 x 60 = 960 načina da se malo napravi ravno.

Sada je vjerojatnost da će se krenuti malim pravcem izračunati jednostavno. Budući da postoji 960 različitih načina da se jedna mala rola malo valja i postoji 7776 rola pet kockica moguće, vjerojatnost kotrljanja malene ravno je 960/7776, što je blizu 1/8 i 12.3%.

Naravno, vjerojatnije je da prvo kolo nije ravno. Ako je to slučaj, onda su nam dopuštena još dva valjka koji čine mali ravni mnogo vjerojatnijim. Vjerojatnost ovoga je mnogo složenija za utvrđivanje zbog svih mogućih situacija koje bi trebalo razmotriti.