Iz teorije se može zaključiti nekoliko teorema aksiomi vjerojatnosti. Te se teoreme mogu primijeniti za izračunavanje vjerojatnosti za koje bismo možda željeli znati. Jedan takav rezultat poznat je kao pravilo komplementacije. Ova izjava omogućava nam izračunati vjerojatnost an događaj znajući vjerojatnost komplementa C. Nakon što iznesemo pravilo komplementa, vidjet ćemo kako se ovaj rezultat može dokazati.
Pravilo komplementa
Dopuna događaja označava se sa C. Dopuna od je set svih elemenata u univerzalnom setu, ili uzorak prostora S, to nisu elementi skupa .
Pravilo komplementa izražava se sljedećom jednadžbom:
P (C) = 1 - P ()
Ovdje vidimo da vjerojatnost nekog događaja i vjerojatnost njegovog dopunjavanja moraju biti jednaki 1.
Dokaz pravila komplementa
Da bismo dokazali pravilo komplementa, započinjemo s aksiomima vjerojatnosti. Te se izjave pretpostavljaju bez dokaza. Vidjet ćemo da se oni mogu sustavno koristiti kako bi dokazali našu tvrdnju o vjerojatnosti nadopunjavanja nekog događaja.
- Prvi aksiom vjerojatnosti je da je vjerojatnost bilo kojeg događaja nenegativna pravi broj.
- Drugi aksiom vjerojatnosti je vjerojatnost cijelog prostora uzorka S je jedan. Simbolično pišemo P (S) = 1.
- Treći aksiom vjerojatnosti kaže da Ako i B se međusobno isključuju (što znači da imaju prazan presjek), a zatim navodimo vjerojatnost sjedinjenje tih događaja kao P ( U B ) = P () + P (B).
Za pravilo komplementa, nećemo trebati koristiti prvi aksiom na gornjem popisu.
Kao dokaz naše izjave smatramo događaje i C. Iz teorije skupova znamo da ta dva skupa imaju prazno sjecište. To je zato što element ne može istovremeno biti u oba a ne unutra . Budući da postoji prazno raskrižje, ta su dva skupa međusobno isključivi.
Spoj dva događaja i C također su važni. Ovi sastojci su iscrpni događaji, što znači da je taj spomen unija ovih događaja je sav uzorak prostora S.
Te činjenice u kombinaciji s aksiomima daju nam jednadžbu
1 = P (S) = P ( U C) = P () + P (C) .
Prva jednakost je zbog drugog aksioma vjerojatnosti. Druga je jednakost jer događaji i C iscrpni su. Treća jednakost je zbog trećeg aksioma vjerojatnosti.
Gornju jednadžbu možemo preurediti u oblik koji smo naveli gore. Sve što moramo učiniti je oduzeti vjerojatnost s obje strane jednadžbe. Tako
1 = P () + P (C)
postaje jednadžba
P (C) = 1 - P ().
Naravno, pravilo možemo izraziti i tako da izjavimo:
P () = 1 - P (C).
Sve tri ove jednadžbe su jednaki načini izgovaranja iste stvari. Iz ovog dokaza vidimo kako samo dva aksioma i neka teorija skupa pomalo dokazuju nove tvrdnje o vjerojatnosti.