Što su vjerojatnostni aksiomi?

Jedna strategija matematike je započeti s nekoliko izjava, a zatim iz tih izjava izraditi više matematike. Početni iskazi poznati su kao aksiomi. Aksiom je tipično nešto što je matematički samo po sebi razumljivo. Iz relativno kratkog popisa aksioma, deduktivna se logika koristi za dokazivanje drugih tvrdnji, nazvanih teoremama ili propozicijama.

Područje matematike poznato kao vjerojatnost se ne razlikuje. Vjerojatnost se može svesti na tri aksioma. To je prvi učinio matematičar Andrei Kolmogorov. Nekoliko aksioma koji su u osnovi vjerojatnosti mogu se upotrijebiti za zaključivanje svih vrste rezultata. Ali koji su to aksiomi vjerojatnosti?

Da bismo razumjeli aksiome vjerojatnosti, prvo moramo razgovarati o nekim osnovnim definicijama. Pretpostavljamo da imamo skup ishoda koji se nazivaju prostor uzorka S. Taj se uzorak može smatrati univerzalnim sklopom za situaciju koju proučavamo. Prostor uzorka sastoji se od podskupova koji se nazivaju događaji E₁, E₂,..., E_n.

Također pretpostavljamo da postoji način dodjeljivanja vjerojatnosti bilo kojem događaju E. Ovo se može smatrati funkcijom koja ima skup za ulaz i pravi broj kao izlaz. Vjerojatnost pojave događajE označava se sa P(E).

Prvi aksiom vjerojatnosti je da je vjerojatnost bilo kojeg događaja nenegativni realni broj. To znači da je najmanja što vjerojatnost ikad može biti jednaka nuli i da ne može biti beskonačna. Skup brojeva koje možemo koristiti su stvarni brojevi. To se odnosi i na racionalne brojeve, poznate i kao frakcije, i na iracionalne brojeve koji se ne mogu napisati kao frakcije.

Treba napomenuti da ovaj aksiom ne govori o tome koliko je velika vjerojatnost nekog događaja. Aksiom eliminira mogućnost negativnih vjerojatnosti. Ona odražava pojam da je najmanja vjerojatnost, rezervirana za nemoguće događaje, jednaka nuli.

Drugi aksiom vjerojatnosti je da je vjerojatnost cijelog prostora uzorka jedna. Simbolično pišemo P(S) = 1. Implicit u ovom aksiomu jest pojam da je uzorak prostora sve moguće za naš eksperiment vjerojatnosti i da nema događaja izvan prostora uzorka.

Sam po sebi, ovaj aksiom ne postavlja gornju granicu vjerojatnosti događaja koji nisu cjelokupni prostor uzorka. To odražava da nešto s apsolutnom sigurnošću ima vjerojatnost od 100%.

Treći aksiom vjerojatnosti bavi se međusobno isključivim događajima. Ako E₁ i E₂ su međusobno isključivi, što znači da imaju prazan presjek, a mi koristimo U za označavanje unije P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Aksiom zapravo pokriva situaciju s nekoliko (čak i izrazito beskonačnih) događaja, od kojih je svaki par međusobno isključivi. Sve dok se to događa, vjerojatnost unije događaja je isti kao zbroj vjerojatnosti:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Iako se ovaj treći aksiom možda ne čini toliko korisnim, vidjet ćemo da je u kombinaciji s druga dva aksioma doista prilično moćan.

Tri aksioma postavljaju gornju granicu vjerojatnosti bilo kojeg događaja. Označavamo komplement događaja E po E^C. Iz teorije skupova, E i E^C imaju prazno raskrižje i međusobno se isključuju. osim toga E U E^C = S, cijeli prostor uzorka.

Te činjenice u kombinaciji s aksiomima daju nam:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Preuređujemo gornju jednadžbu i vidimo to P(E) = 1 - P(E^C). Budući da znamo da vjerojatnosti moraju biti nenegativne, sada imamo da je gornja granica vjerojatnosti bilo kojeg događaja 1.

Preuređenjem formule opet imamo P(E^C) = 1 - P(E). Iz ove formule također se može zaključiti da je vjerojatnost da se ne dogodi jedan minus minus vjerojatnost da se on dogodi.

Gornja jednadžba omogućuje nam i izračunavanje vjerojatnosti nemogućeg događaja, označenog praznim skupom. Da biste to vidjeli, podsjetite se da je prazan skup nadopunjavanje univerzalnog skupa, u ovom slučaju S^C. Budući da je 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), po algebri imamo P(S^C) = 0.

Navedene su samo par primjera svojstava koja se mogu dokazati izravno iz aksioma. Vjerojatno je mnogo više rezultata. Ali sve su te teoreme logična proširenja iz triju aksioma vjerojatnosti.