Kako koristiti pravilo nadopune u statistici

U statistici je pravilo komplementa teorem koji pruža vezu između vjerojatnosti an događaj a vjerojatnost komplementacije događaja na takav način da ako poznajemo jednu od tih vjerojatnosti, tada automatski znamo i drugu.

Pravilo komplementa je korisno kad izračunavamo određene vjerojatnosti. Mnogo je puta vjerovatnoća nekog događaja neuredna ili složena za izračunavanje, dok je vjerojatnost njenog nadopunjavanja mnogo jednostavnija.

Prije nego što vidimo kako se koristi pravilo komplementa, definirat ćemo konkretno što je to pravilo. Započinjemo s malo notacije. Dopuna događaja , koji se sastoji od svih elemenata u uzorak prostoraS koji nisu elementi skupa , označen je sa C.

Pravilo komplementa je navedeno kao "zbroj vjerojatnosti događaja i vjerojatnost njegovog nadopunjavanja jednak je 1", izraženo sljedećom jednadžbom:

P (^C) = 1 - P ()

Sljedeći će primjer pokazati kako koristiti pravilo komplementa. Postat će očito da će ovaj teorem i ubrzati i pojednostaviti proračun vjerojatnosti.

Pretpostavimo da bacimo osam sajamskih kovanica - kolika je vjerojatnost da imamo barem jednu glavu? Jedan od načina da se to shvati je izračunati sljedeće vjerojatnosti. Naziv svakog od njih objašnjava se činjenicom da postoje 2⁸ = 256 ishoda, od kojih je svaki podjednako vjerojatan. Slijedi nas formula za kombinacije:

• Vjerojatnost okretanja točno jedne glave je C (8,1) / 256 = 8/256.
• Vjerojatnost okretanja točno dvije glave je C (8,2) / 256 = 28/256.
• Vjerojatnost okretanja točno tri glave je C (8,3) / 256 = 56/256.
• Vjerojatnost okretanja točno četiri glave je C (8,4) / 256 = 70/256.
• Vjerojatnost okretanja točno pet glava je C (8,5) / 256 = 56/256.
• Vjerojatnost okretanja točno šest glava je C (8,6) / 256 = 28/256.
• Vjerojatnost okretanja točno sedam glava je C (8,7) / 256 = 8/256.
• Vjerojatnost okretanja točno osam glava je C (8,8) / 256 = 1/256.

Ovi su međusobno isključivi događaja, pa zbrojimo vjerojatnosti zajedno koristeći jedan odgovarajući pravilo dodavanja. To znači da je vjerojatnost da imamo barem jednu glavu 255 od 256.

Sada smo izračunali istu vjerojatnost pomoću pravila komplementa. Nadoknada događaja "Zavrtimo barem jednu glavu" događaj je "Nema glave." Postoji jedan način da se to dogodi, što nam daje vjerojatnost 1/256. Koristimo pravilo komplementa i utvrdimo da je naša željena vjerojatnost jedna minus jedna od 256, što je jednako 255 od 256.

Ovaj primjer pokazuje ne samo korisnost, nego i snagu pravila komplementa. Iako u našem izvornom proračunu nema ništa loše, bio je prilično uključen i zahtijevao je više koraka. Suprotno tome, kad smo koristili pravilo komplementa za ovaj problem, nije bilo toliko koraka u kojima bi proračuni mogli ići po zlu.