Kada se bavimo teorija skupova, postoji niz operacija za izradu novih skupova od starih. Jedna od najčešćih operacija skupa naziva se raskrižje. Jednostavno rečeno, sjecište dva skupa i B je skup svih elemenata koji oboje i B zajedničko.
Pogledat ćemo detalje koji se odnose na sjecište u teoriji skupova. Kao što ćemo vidjeti, ključna riječ ovdje je riječ "i".
Primjer
Primjer kako tvori sjecište dvaju skupova a novi set, razmotrimo skupove = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Da bismo pronašli sjecište tih dvaju skupa, moramo otkriti koje sve elemente imaju zajedničkog. Brojevi 3, 4, 5 su elementi oba skupa, stoga su sjecišta i B je {3. 4. 5].
Oznaka za raskrižje
Osim razumijevanja koncepata koji se odnose na teorije operacija skupa, važno je biti u stanju čitati simbole koji se koriste za označavanje tih operacija. Simbol za sjecište ponekad se zamjenjuje riječju „i“ između dva niza. Ova riječ sugerira kompaktnije oznake za raskrižje koje se obično koristi.
Simbol koji se koristi za sjecište dva skupa
i B daje od ∩ B. Jedan od načina da zapamtite da se ovaj simbol ∩ odnosi na sjecište je primijetiti njegovu sličnost s velikim slovom A, što je skraćenica za riječ "i".Da biste vidjeli ovu oznaku u akciji, vratite se na gornji primjer. Ovdje smo imali setove = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dakle, napisali bismo postavljenu jednadžbu ∩ B = {3, 4, 5}.
Sjecište s praznim setom
Jedan osnovni identitet koji uključuje sjecište pokazuje nam što se događa kad uzmemo sjecište bilo kojeg skupa s praznim setom, označenim sa # 8709. Prazan skup je skup bez elemenata. Ako u barem jednom skupu nema elemenata kojima pokušavamo pronaći sjecište, tada dva skupa nemaju zajedničke elemente. Drugim riječima, sjecište bilo kojeg skupa sa prazan set dat će nam prazan set.
Taj identitet postaje još kompaktniji korištenjem naše notacije. Imamo identitet: ∩ ∅ = ∅.
Sjecište s univerzalnim setom
Za drugu krajnost, što se događa kada ispitamo sjecište skupa s univerzalnim skupom? Slično kao i riječ svemir koristi se u astronomiji da znači sve, univerzalni skup sadrži svaki element. Iz toga slijedi da je svaki element našeg skupa ujedno i element univerzalnog skupa. Dakle, sjecište bilo kojeg skupa s univerzalnim skupom je skup s kojim smo započeli.
Opet, naša nota dolazi do pomoći da se ovaj identitet sažeto izrazi. Za bilo koji skup i univerzalni set U, ∩ U = .
Ostali identiteti koji uključuju raskrižje
Postoji mnogo više postavljenih jednadžbi koje uključuju uporabu operacije raskrižja. Naravno, uvijek je dobro praksa koristeći jezik teorije skupova. Za sve setove , i B i D imamo:
- Refleksivno svojstvo: ∩ =
- Komutativno svojstvo: ∩ B = B ∩
- Pridruženo vlasništvo: ( ∩ B) ∩ D = ∩ (B ∩ D)
- Distributivni entitet: ( ∪ B) ∩ D = ( ∩ D)∪ (B ∩ D)
- DeMorgan-ov zakon I: ( ∩ B)C = C ∪ BC
- DeMorgan-ov zakon II: ( ∪ B)C = C ∩ BC