Razumijevanje ekvivalentnih jednadžbi u algebri

Ekvivalentne jednadžbe su sustavi jednadžbi koji imaju ista rješenja. Identificiranje i rješavanje ekvivalentnih jednadžbi vrijedna je vještina, i to ne samo u klasa algebre ali i u svakodnevnom životu. Pogledajte primjere ekvivalentnih jednadžbi, kako ih riješiti za jednu ili više varijabli i kako možete koristiti ovu vještinu izvan učionice.

Ključni odvodi

Najjednostavniji primjeri ekvivalentnih jednadžbi nemaju varijable. Na primjer, ove tri jednadžbe su jednake jednakoj:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Prepoznavanje ovih jednadžbi je ekvivalentno sjajno, ali ne osobito korisno. Obično, jednakovrijedni problem jednadžbe traži da se riješite za varijablu da biste vidjeli je li ista (ista) korijen) kao onaj u drugoj jednadžbi.

Na primjer, sljedeće jednadžbe su ekvivalentne:

• x = 5
• -2x = -10

U oba slučaja je x = 5. Kako to znamo? Kako to rješavate za jednadžbu "-2x = -10"? Prvi korak je poznavanje pravila ekvivalentnih jednadžbi:

• Dodavanje ili oduzimanjem istog broja ili izraza na obje strane jednadžbe dobiva se jednaka jednadžba.
• Umnožavanjem ili dijeljenjem obje strane jednadžbe s istim ne-nultim brojem dobiva se jednaka jednadžba.
• Podizanje obje strane jednadžbe na ista neobična snaga ili uzimanje istog neobičnog korijena proizvest će jednakovrijednu jednadžbu.
• Ako su obje strane jednadžbe ne-negativan, podizanje obje strane jednadžbe na istu ravnomjernu snagu ili uzimanje istog ravnomjernog korijena dat će jednaku jednadžbu.

Provodeći ta pravila u praksi, utvrdite jesu li ove dvije jednadžbe jednake:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Da biste to riješili, trebate pronaći "x" za svaki jednadžba. Ako je "x" isti za obje jednadžbe, tada su jednaki. Ako je "x" različit (tj. Jednadžbe imaju različite korijene), tada jednadžbe nisu jednake. Za prvu jednadžbu:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (oduzimajući obje strane istim brojem)
• x = 5

Za drugu jednadžbu:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (oduzimajući obje strane istim brojem)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dijeljenje obje strane jednadžbe s istim brojem)
• x = 5

Dakle, da, dvije jednadžbe su jednake jer je x = 5 u svakom slučaju.

U svakodnevnom životu možete koristiti jednake jednadžbe. Osobito je korisna prilikom kupovine. Na primjer, sviđa vam se određena majica. Jedna tvrtka nudi majicu za 6 dolara i otpremu za 12 dolara, dok druga tvrtka nudi majicu za 7,50 dolara i otpremu za 9 dolara. Koja košulja ima najbolju cijenu? Koliko košulja (možda ih želite nabaviti za prijatelje) biste trebali kupiti da bi cijena bila jednaka za obje tvrtke?

Da biste riješili taj problem, neka je "x" broj košulja. Za početak, postavite x = 1 za kupnju jedne košulje. Za tvrtku br. 1:

• Cijena = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 USD

Za tvrtku br. 2:

• Cijena = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Dakle, ako kupujete jednu majicu, druga tvrtka nudi bolju ponudu.

Da biste pronašli mjesto u kojem su cijene jednake, neka "x" ostane broj košulja, ali postavite dvije jednadžbe jednake jedna drugoj. Odlučite se za "x" kako biste pronašli koliko majica trebate kupiti:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (oduzimanjem isti brojevi ili izrazi sa svake strane)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dijeljenje obje strane s istim brojem, -1)
• x = 3 / 1,5 (dijeljenje obje strane s 1,5)
• x = 2

Ako kupite dvije košulje, cijena je ista, bez obzira na to gdje je nabavite. Možete upotrijebiti istu matematiku da biste odredili koja će vam tvrtka dati bolji posao sa većim narudžbama i izračunati koliko ćete uštedjeti koristeći jednu tvrtku preko druge. Vidite, algebra je korisna!

Ako imate dvije jednadžbe i dvije nepoznanice (x i y), možete odrediti jesu li dva skupa linearnih jednadžbi jednaka.

Na primjer, ako vam se daju jednadžbe:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Možete odrediti je li sljedeći sustav ekvivalentan:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Do riješiti ovaj problem, pronađite "x" i "y" za svaki sustav jednadžbi. Ako su vrijednosti iste, tada su sustavi jednadžbi jednaki.

Počnite s prvim setom. Da riješim dva jednadžbe s dvije varijable, izolirajte jednu varijablu i njeno rješenje priključite u drugu jednadžbu. Da biste izolirali varijablu "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (dodajte za "x" u drugoj jednadžbi)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Sada, uključite "y" natrag u bilo koju jednadžbu da biste riješili za "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Ako prođete kroz ovo, na kraju ćete dobiti x = 7/3.

Da odgovorim na pitanje, ti mogla primijenite iste principe na drugi niz jednadžbi da biste riješili za "x" i "y" da biste ustanovili da, oni su doista jednaki. Lako se zagušiti u algebri, stoga je dobra ideja provjeriti svoj rad pomoću alata internetska jednadžba solver.

Međutim, pametni učenik primijetit će da su dva niza jednadžbi jednaka a da uopće ne napravite teške proračune. Jedina razlika između prve jednadžbe u svakom skupu je ta što je prva tri puta druga (jednaka). Druga jednadžba potpuno je ista.