Nalazite na ulicama Sankt Peterburga u Rusiji, a starac predlaže sljedeću igru. Zavrće novčić (posudit će jedan od vas ako ne vjerujete da je njegov pravi). Ako sleti repom gore, onda gubite i igra je gotova. Ako novac padne prema gore, osvojite jedan rublje i igra se nastavlja. Novac se opet baci. Ako su to repovi, igra se završava. Ako su to glave, onda osvojite dodatna dva rublja. Igra se nastavlja na ovaj način. Za svaku uzastopnu glavu udvostručujemo svoju pobjedu iz prethodnog kruga, ali na znak prvog repa igra se obavlja.
Koliko biste platili za igranje ove igre? Kad razmotrimo očekivana vrijednost ove igre, trebali biste skočiti na šansu, bez obzira na cijenu koštanja. Međutim, iz gornjeg opisa vjerovatno ne biste bili spremni platiti mnogo. Uostalom, postoji 50-postotna vjerojatnost da ništa ne dobijete. To je ono što je poznato kao Sankt Peterburg Paradox, nazvano zbog objave Daniela Bernoullija iz 1738. godine Komentari Imperijalne akademije znanosti iz Sankt Peterburga.
Neke vjerojatnosti
Započnimo s izračunavanjem vjerojatnosti povezan s ovom igrom. Vjerojatnost da pošten novčić sleti prema gore je 1/2. Svaki bacanje kovanica je neovisan događaj, tako da množimo vjerojatnosti po mogućnosti pomoću a dijagram stabla.
- Vjerojatnost dviju glava u nizu je (1/2)) x (1/2) = 1/4.
- Vjerojatnost tri glave zaredom je (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
- Izraziti vjerojatnost za n glave u nizu, kamo n je pozitivan cijeli broj koji koristimo eksponenti za pisanje 1/2n.
Neke isplate
Krenimo dalje i vidimo možemo li generalizirati koji bi dobitak bio u svakom krugu.
- Ako imate glavu u prvom krugu, osvojite jedan rublje za taj krug.
- Ako je glava u drugom krugu, u tom krugu ćete osvojiti dvije rublje.
- Ako je glava u trećem kolu, tada ćete u tom krugu osvojiti četiri rublje.
- Ako ste bili dovoljno sretni da stignete do nth kolo, tada ćete osvojiti 2n-1 rubalja u toj rundi.
Očekivana vrijednost igre
Očekivana vrijednost igre govori nam kakav bi prosjek bio dobitak ako biste igru igrali puno, puno puta. Da bismo izračunali očekivanu vrijednost, množimo vrijednost dobitka iz svakog kruga s vjerojatnošću prolaska u ovaj krug, a zatim sve ove proizvode zbrojimo.
- Od prvog kruga imate vjerojatnost 1/2 i dobitak od 1 rublja: 1/2 x 1 = 1/2
- Od drugog kruga imate vjerojatnost 1/4 i dobitak od 2 rublje: 1/4 x 2 = 1/2
- Od prvog kruga imate vjerojatnost 1/8 i dobitak od 4 rubalja: 1/8 x 4 = 1/2
- Od prvog kruga imate vjerojatnost 1/16 i dobitak od 8 rubalja: 1/16 x 8 = 1/2
- Od prvog kruga imate vjerojatnost 1/2n i dobitak od 2n-1 rubalja: 1/2n x 2n-1 = 1/2
Vrijednost iz svakog kruga je 1/2, a zbrajaju se rezultati iz prvog n rundi zajedno daju nam očekivanu vrijednost n/ 2 rubalja. Od n može biti bilo koji pozitivan cijeli broj, očekivana vrijednost je neograničena.
Paradoks
Pa što biste trebali platiti za igranje? Rublja, tisuću rubalja ili čak a milijardi rubalja bi, dugoročno gledano, bila manja od očekivane vrijednosti. Unatoč gore navedenom izračunu koji obećava nebrojena bogatstva, svi bismo još uvijek oklijevali platiti vrlo puno za igru.
Brojni su načini da se riješi paradoks. Jedan od jednostavnijih načina je da nitko ne ponudi igru poput one gore opisanu. Nitko nema beskonačne resurse koji bi trebali platiti nekome tko je i dalje vrtio glavom.
Drugi način da se riješi paradoksa uključuje ukazivanje na to koliko je nemoguće dobiti nešto poput 20 glava zaredom. izgledi ovo se događa i bolje nego osvojiti većinu države lutrije. Ljudi rutinski igraju takve lutrije za pet dolara ili manje. Stoga cijena igranja igre u Sankt Peterburgu vjerojatno ne bi trebala prelaziti nekoliko dolara.
Ako je čovjek unutra St. Petersburg kaže da će za igranje njegove igre koštati nešto više od nekoliko rubalja, trebali biste pristojno odbiti i otići. Rublja ionako ne vrijedi mnogo.