Vjerojatnost prevrtanja jednog Yahtzeea

Yahtzee je igra s kockicama koja uključuje kombinaciju šanse i strategije. Igrač započinje s preokretom pet kockica. Nakon ove role, igrač može odlučiti ponovo baciti bilo koji broj kockica. Najviše su tri rola za svako skretanje. Nakon ta tri svitka rezultat kockice se upisuje na listu rezultata. Ovaj popis rezultata sadrži različite kategorije, kao što su puna kuća ili velika ravna. Svaka od kategorija zadovoljna je različitim kombinacijama kockica.

Najteža kategorija za popunjavanje je kategorija Yahtzeeja. Yahtzee se dogodi kada igrač izbaci pet s istog broja. Koliko je malo vjerovatno Yahtzee? To je problem mnogo složeniji od pronalaska vjerojatnosti dva ili čak tri kocke. Glavni razlog je taj što postoji mnogo načina da se dobije pet odgovarajućih kockica tijekom tri valjanja.

Vjerojatnost kotrljanja Yahtzeeja možemo izračunati pomoću formule kombinatorike za kombinacije i razbijanjem problema na nekoliko međusobno isključivi slučajeva.

Najlakši slučaj za razmatranje je dobivanje Yahtzeea odmah na prvoj listi. Prvo ćemo pogledati

Vjerovatnoća kotrljanja dvojke je 1/6, a ishod svake smrti je neovisan o ostatku. Dakle, vjerojatnost kotrljanja pet dvojki je (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Vjerojatnost da će se neki slični broj okrenuti pet, također je 1/7776. Budući da na matricu postoji ukupno šest različitih brojeva, gornju vjerojatnost množimo s 6.

To znači da je vjerojatnost da Yahtzee u prvom kolu bude 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 posto.

Ako izbacimo nešto drugo od pet vrsta prvog kola, morat ćemo ponovo baciti neke od naših kockica kako bismo pokušali dobiti Yahtzee. Pretpostavimo da naša prva rola ima četiri vrste. ponovo bismo prebacili onu matricu koja se ne podudara i zatim bi dobili Yahtzee u ovom drugom kolu.

Vjerojatnost da se na ovaj način kotrlja ukupno pet dvojki pronađena je kako slijedi:

1. U prvom kolu imamo četiri dvojke. Budući da postoji vjerojatnost 1/6 kotrljanja dva, a 5/6 ne valjanja dva, množimo (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Bilo koji od pet kockice valjane mogu biti ne-dvije. Koristimo našu kombinacijsku formulu za C (5, 1) = 5 da brojimo na koliko načina možemo iskosati četiri dvojke i nešto što nije dvojica.
3. Pomnožimo i vidimo da je vjerojatnost da će se na prvi kolut otkotriti točno četiri dvosjeda 25/7776.
4. Na drugom kolu, moramo izračunati vjerojatnost kotrljanja jednog dva. Ovo je 1/6. Dakle, vjerojatnost kotrljanja Yahtzee od dvojke na gornji način je (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Da biste na ovaj način pronašli vjerojatnost kotrljanja bilo kojeg Yahtzeea, množenjem gornje vjerojatnosti pomnožite sa 6 jer na matricu postoji šest različitih brojeva. To daje vjerojatnost 6 x 25/46656 = 0,32 posto.

Ali to nije jedini način da se Yahtzee kotrlja s dva kola. Sve sljedeće vjerojatnosti nalaze se na gotovo isti način kao gore:

• Mogli bismo baciti tri vrste, a zatim dvije kockice koje odgovaraju našem drugom kolu. Vjerojatnost za to je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 posto.
• Mogli bismo baciti odgovarajući par, a na našem drugom kotaču tri kockice koje odgovaraju. Vjerojatnost za to je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 posto.
• Mogli bismo baciti pet različitih kockica, spasiti jednu matricu iz našeg prvog rola, a zatim baciti četiri kockice koje odgovaraju na drugom kolutu. Vjerojatnost za to je (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 posto.

Gore navedeni slučajevi međusobno se isključuju. To znači da za izračunavanje vjerojatnosti kotrljanja Yahtzeeja u dva kola, zbrojimo gornje vjerojatnosti i imamo otprilike 1,23 posto.

Za najsloženiju situaciju do sada, sada ćemo istražiti slučaj gdje koristimo sva tri naša kola kako bismo dobili Yahtzee. To bismo mogli učiniti na nekoliko načina i moramo odgovoriti na sve njih.

Vjerojatnost ovih mogućnosti izračunava se u nastavku:

• Vjerojatnost kotrljanja četiri vrste, a zatim ništa, a zatim podudaranje posljednje matrice na zadnjem kolu je 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 posto.
• Vjerojatnost kotrljanja tri vrste, a onda ništa, pa podudaranje s ispravnim parom na zadnjem kolu je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 posto.
• Vjerojatnost kotrljanja odgovarajućeg para, a zatim ništa, a zatim podudaranje s točnom tri vrste na trećem kolu je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 posto.
• Vjerojatnost prevrtanja jednog matrice, a onda ništa što se podudara s tim, a zatim podudaranje s točnom četvorkom vrste na trećem kolu je (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 posto.
• Vjerojatnost prevrtanja tri vrste, podudaranja dodatnog matrica na sljedećem kolu, nakon čega slijedi podudaranje pete matrice na trećem kolu je 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 posto.
• Vjerojatnost kotrljanja para, podudaranja dodatnog para na sljedećem kolu, nakon čega slijedi podudaranje peta matrica na trećem kolu je 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 posto.
• Vjerojatnost kotrljanja para, podudaranje dodatnih matrica na sljedećem kolu, nakon čega slijedi podudaranje s zadnje dvije kockice na trećem kolu su 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 posto.
• Vjerojatnost da će se jedna vrsta valjati, druga će umrijeti da je uskladi s drugom rolom, a onda je troje vrste na trećem rolni (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 posto.
• Vjerojatnost prevrtanja jedne vrste, trojke vrste da se podudaraju na drugom kolu, nakon čega slijedi podudaranje na trećem kolu, je (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 posto.
• Vjerojatnost kotrljanja jedne vrste, par koji će se podudarati s drugim valjkom, a zatim drugi par koji će se podudarati na trećem kolu je (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 posto.

Sve gore navedene vjerojatnosti zbrajamo kako bismo odredili vjerojatnost kotrljanja Yahtzeeja u tri koluta kocke. Ta je vjerojatnost 3,43 posto.

Vjerojatnost Yahtzeea u jednom kolu je 0,08 posto, vjerojatnost Yahtzeeja u dva koluta je 1,23 posto, a vjerojatnost Yahtzeeja u tri role je 3,43 posto. Budući da se svaki od njih međusobno isključuje, zbrajamo vjerojatnosti. To znači da je vjerojatnost da će dobiti Yahtzee u određenom zaokretu otprilike 4,74 posto. Da ovo razmislimo, s obzirom da je 1/21 približno 4,74 posto, sam slučajno igrač treba očekivati ​​Jahtzeea jednom u 21 preokret. U praksi to može trajati duže jer se početni par može odbaciti da bi se pokrenulo za nešto drugo, kao što je ravno.