Kako se razlikuju kombinacije i permutacije

Kroz matematiku i statistiku trebamo znati računati. To se posebno odnosi na neke vjerojatnost problemi. Pretpostavimo da nam je dato ukupno n različite predmete i žele ih odabrati r od njih. Ovo se izravno dotiče područja matematike poznato kao kombinatorika, a to je studija brojanja. Dva glavna načina za njihovo brojanje r predmeti iz n elementi se nazivaju permutacije i kombinacije. Ti su pojmovi usko povezani jedan s drugim i lako ih je zbuniti.

Koja je razlika između kombinacije i permutacije? Ključna ideja je red. Permutacija obraća pažnju na redoslijed odabira naših predmeta. Isti skup objekata, ali uzeti drugačijim redoslijedom, dat će nam različite permutacije. Uz kombinaciju, još uvijek odabiremo r objekata od ukupno n, ali naredba se više ne smatra.

Da bismo razlikovali ove ideje, razmotrit ćemo slijedeći primjer: koliko ima permutacija dvaju slova iz skupa {a, b, c}?

Ovdje navodimo sve parove elemenata iz danog skupa, pritom pazeći na redoslijed. Postoji ukupno šest permutacija. Popis svih ovih su: ab, ba, bc, cb, ac i ca. Imajte na umu da su permutacije

Sada ćemo odgovoriti na sljedeće pitanje: koliko kombinacija ima dva slova iz skupa {a, b, c}?

Budući da se bavimo kombinacijama, više nam nije stalo do reda. Ovaj problem možemo riješiti gledanjem na permutacije i uklanjanjem onih koji uključuju ista slova. Kao kombinacije, ab i ba smatraju se istim. Tako postoje samo tri kombinacije: ab, ac i bc.

Za situacije s kojima se susrećemo s većim skupovima previše je vremena da bi se nabrojale sve moguće permutacije ili kombinacije i brojali krajnji rezultati. Srećom, postoje formule koje nam daju broj permutacija ili kombinacija n uzete predmete r u isto vrijeme.

U tim formulama koristimo skraćenicu od n! zvao nfaktorijel. Iz tvornice se jednostavno kaže pomnožiti sve pozitivne cijele brojeve manje od ili jednake n zajedno. Tako, na primjer, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Po definiciji 0! = 1.

Broj permutacija od n uzete predmete r odjednom se daje formulom:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Broj kombinacija n uzete predmete r odjednom se daje formulom:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Da biste vidjeli formule na djelu, pogledajmo početni primjer. Broj permutacija skupa od tri objekta uzeta dva istovremeno P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. To se točno podudara s onim što smo dobili popisom svih permutacija.

Broj kombinacija skupa od tri objekta koja se uzimaju dva istodobno daje:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Ponovo se to poklapa s onim što smo vidjeli prije.

Formule definitivno štede vrijeme kada se od nas traži da pronađemo broj permutacija većeg skupa. Na primjer, koliko je permutacija u setu od deset predmeta uzetih po tri? Trebalo bi neko vrijeme da nabrojimo sve permutacije, ali s formulama vidimo da bi postojalo:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutacija.

Koja je razlika između permutacija i kombinacija? Dno crta je da u prebrojavanju situacija koje uključuju narudžbu treba koristiti permutacije. Ako redoslijed nije bitan, tada treba koristiti kombinacije.