Faktorski (!) U matematici i statistici

U matematici simboli koji imaju određena značenja u engleskom jeziku može značiti vrlo specijalizirane i različite stvari. Na primjer, uzmite u obzir sljedeći izraz:

3!

Ne, nismo koristili uskličnik pokazati da smo uzbuđeni oko tri, a ne bismo trebali naglasiti posljednju rečenicu. U matematici izraz 3! čita se kao "tri faktoracije" i stvarno je skraćeni način da se označi množenje nekoliko uzastopnih cijelih brojeva.

Budući da u matematici i statistici ima puno mjesta na kojima moramo množiti brojeve zajedno, faktograf je prilično koristan. Kombinatorika i vjerojatnost su neka od glavnih mjesta gdje se pojavljuje račun.

Definicija tvornice je ta koja je za svaki pozitivan cijeli broj n, faktor:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Prvo ćemo pogledati nekoliko primjera faktororija s malim vrijednostima n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
instagram viewer
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Kao što vidimo, fabrika postaje vrlo velika vrlo brzo. Nešto što se može činiti malo, poput 20! zapravo ima 19 znamenki.

Faktoriali su lako izračunati, ali mogu biti pomalo zamorni za izračunavanje. Srećom, mnogi kalkulatori imaju tvornički ključ (potražite! simbol). Ova funkcija kalkulatora automatizira množenje.

Još jedna vrijednost tvornice i ona za koju ne vrijedi gornja standardna definicija je ona nulta faktororija. Ako slijedimo formulu, ne bismo došli do bilo koje vrijednosti za 0!. Ne postoje pozitivni cijeli brojevi manji od 0. Iz nekoliko razloga je prikladno definirati 0! = 1. Činjenica za ovu vrijednost posebno se pokazuje u formulama za kombinacije i permutacije.

Kad se bavimo izračunima, važno je razmisliti prije nego što pritisnemo faktografsku tipku na našem kalkulatoru. Da biste izračunali izraz poput 100! / 98! postoji nekoliko različitih načina da se to postigne.

Jedan od načina je korištenje a kalkulator pronaći oba 100! i 98!, zatim podijelite jedan za drugim. Iako je ovo izravan način izračuna, s njim su povezane neke poteškoće. Neki kalkulatori ne mogu podnijeti izraze do 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (Izraz 10¹⁵⁷ Znanstveni je zapis koji znači da množimo s 1, a slijedi 157 nula.) Ne samo da je taj broj masivan, već je i samo procjena stvarne vrijednosti 100!

Drugi način pojednostavljenja izraza s tvorničkim podacima poput onoga koji je ovdje prikazan uopće ne zahtijeva kalkulator. Način da se pristupi ovom problemu je prepoznati da možemo prepisati 100! a ne kao 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, ali umjesto 100 x 99 x 98! Izraz 100! / 98! sada postaje (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.