Kako izvesti formulu za kombinacije

Nakon što vidimo formule ispisane u udžbeniku ili napisane od strane učitelja, ponekad je iznenađujuće kako bi saznali da se mnoge od ovih formula mogu izvući iz nekih temeljnih definicija i pažljivog razmišljanja. To se posebno odnosi na vjerojatnost kod ispitivanja formule kombinacija. Izvođenje ove formule samo se oslanja na princip množenja.

Pretpostavimo da postoji zadatak koji treba obaviti i taj je zadatak podijeljen na ukupno dva koraka. Prvi se korak može učiniti u k načina i drugi korak se može učiniti u n načina. To znači da nakon razmnožavaju ovi brojevi zajedno, broj načina za izvršavanje zadatka nk.

Na primjer, ako imate deset vrsta sladoleda za biranje i tri različita preljeva, koliko jedna čašica, jedan preljev za sunčanje možete napraviti? Pomnožite tri sa 10 da biste dobili 30 suncobrana.

Sada, koristite princip množenja za dobivanje formule za broj kombinacija r elementi preuzeti iz skupa n elementi. pustiti P (n, r) označava broj

Razmislite o tome što se događa prilikom formiranja permutacije sustava r elemenata od ukupno n. Pogledajte ovo kao postupak u dva koraka. Prvo odaberite skup r elementi iz skupa n. Ovo je kombinacija i postoje C(n, r) načine kako to učiniti. Drugi korak u postupku je naručivanje r elementi sa r izbori za prvi, r - 1 izbor za drugi, r - 2 za treću, 2 izbora za predzadnji i 1 za posljednji. Po principu množenja postoje r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! načine kako to učiniti. Ova formula je napisana sa faktografski zapis.

Za ponovni izračun, P(n,r ), broj načina za oblikovanje permutacije od r elemenata od ukupno n određuje:

1. Formiranje kombinacije r elemenata od ukupno n u bilo kojem od C(n,r ) načine
2. Naručujući ih r elementi bilo koji r! načina.

Po načelu množenja postoji broj načina za oblikovanje permutacije P(n,r ) = C(n,r ) x r!.

Korištenje formule za permutacije P(n,r ) = n!/(n - r)!, koji se mogu zamijeniti u gornjoj formuli:

n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.

Sada to riješite, broj kombinacija, C(n,r ), i vidi to C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].

Kao što je pokazano, malo razmišljanja i algebre može ići dug put. Ostale formule vjerojatnosti i statistike također se mogu izvući pažljivim primjenama definicija.