Što su obrnuto, suprotno i obrnuto?

Uvjetne izjave pojavljuju se svuda. U matematici ili na drugom mjestu, ne treba dugo da se naiđe na nešto od oblika "Ako P zatim P„. Uvjetne su izjave doista važne. Ono što je također važno jesu izjave koje se mijenjaju položaj u P, P i negacija izjave. Započinjući s izvornom izjavom, završavamo s tri nova uvjetna iskaza koja su nazvana obrnutim, suprotnim i inverzan.

Prije nego što definiramo obrnuto, kontrapozitivno i obrnuto od uvjetne izjave, moramo ispitati temu negacije. Svaka izjava u logika je ili istinita ili lažna. Negacija izjave jednostavno uključuje umetanje riječi "ne" u pravi dio izjave. Dodavanje riječi "ne" vrši se tako da promijeni status istinitosti izjave.

To će vam pomoći da pogledate primjer. Izjava „The desni trokut je jednakostraničan "ima negaciju" Pravi trokut nije jednakostraničan. " Negacija „10 je parni broj“ je izjava „10 nije parni broj“. Naravno, zbog ovoga zadnji primjer, mogli bismo upotrijebiti definiciju neparnog broja i umjesto toga reći da je "10 neparni broj." Primjećujemo da je istina izjave suprotna onoj koju ima negacija.

Proučit ćemo ovu ideju u apstraktnijem okruženju. Kad izjava P istina je, izjava "ne P”Je lažno. Slično tome, ako P je lažno, njegova negacija "neP" je istina. Negacije se obično označavaju tildom ~. Dakle, umjesto da pišete „ne P”Možemo pisati ~P.

Sada možemo definirati obrnuto, kontrapozitivno i obrnuto od uvjetnog iskaza. Započinjemo s uvjetnom izjavom "Ako P zatim P.”

• Suprotnost uvjetne izjave je "Ako P zatim P.”
• Suprotni je uvjetnoj izjavi "Ako ne P onda ne P.”
• Obrnuta uvjetna izjava je "Ako ne P onda ne P.”

Vidjet ćemo kako te izjave djeluju s primjerom. Pretpostavimo da započnemo s uvjetnom izjavom "Ako je sinoć padala kiša, pločnik je mokar."

• Suprotna je uvjetna izjava: "Ako je pločnik vlažan, sinoć je padala kiša."
• Suprotnost uvjetnoj izjavi je "Ako pločnik nije mokar, sinoć nije padao kiša."
• Obrnuta uvjetna rečenica je "Ako sinoć nije padala kiša, pločnik nije mokar."

Možemo se zapitati zašto je važno oblikovati ove druge uvjetne izjave iz naše početne. Pažljiv pogled na gornji primjer otkriva nešto. Pretpostavimo da je izvorna izjava "Ako je sinoć padala kiša, pločnik je vlažan" istinita. Koja bi od ostalih izjava trebala biti istinita?

• Suprotnost "Ako je pločnik vlažan, sinoć je padala kiša" nije nužno istinit. Pločnik bi mogao biti mokar iz drugih razloga.
• Obrnuto "Ako sinoć nije kišilo, onda pločnik nije mokar" nije nužno istinito. Opet, samo što nije padala kiša ne znači da pločnik nije mokar.
• Kontrapozitiv "Ako pločnik nije mokar, sinoć nije padao kiša", istinita je izjava.

Ono što vidimo iz ovog primjera (i što se matematički može dokazati) je da uvjetna izjava ima istu vrijednost istine kao i njena suprotnost. Kažemo da su ove dvije izjave logično jednake. Vidimo i da uvjetna izjava nije logično jednaka njegovoj obrnutoj i obrnutoj.

Budući da su uvjetna izjava i njen kontrapozitiv logički ekvivalentni, to možemo koristiti u našu korist kada dokazujemo matematičke teoreme. Umjesto da izravno dokažemo istinitost uvjetne izjave, umjesto toga možemo koristiti strategiju neizravnog dokazivanja istinitosti suprotnosti te izjave. Kontrapozitivni dokazi djeluju jer ako je kontrapozitiv istinit, zbog logičke ekvivalencije, izvorna uvjetna izjava također je istinita.

Ispada da iako obratno i obrnuto nisu logički ekvivalentne izvornom uvjetnom iskazu, oni su logički jednaki jedni drugima. Za to postoji jednostavno objašnjenje. Započinjemo s uvjetnom izjavom "Ako P zatim P”. Suprotnost ove izjave je "Ako ne P onda ne P„. Budući da je obrnuto suprotno, obrnuto i obrnuto su logički jednaki.