Što je Cauchy distribucija

Jedna raspodjela slučajne varijable nije važna zbog njezinih primjena, već zbog onoga što nam govori o našim definicijama. Cauchy distribucija je jedan takav primjer, koji se ponekad naziva i patološkim primjerom. Razlog za to je da iako je ta raspodjela dobro definirana i ima vezu s fizičkim fenomenom, distribucija nema srednje vrijednosti ili varijance. Doista, ova slučajna varijabla nema a funkcija generiranja trenutka.

Razlikujemo Cauchy distribuciju razmatrajući spinner, kao što je tip u igri na ploči. Središte ovog spinnera bit će usidreno na y os u točki (0, 1). Nakon što vrtimo spinner, produžit ćemo linijski segment spinnera dok ne pređe osi x. To će biti definirano kao naša slučajna varijabla x.

Označimo w manji od dva kuta koja vrti napravi sa y os. Pretpostavljamo da će ovaj spinner podjednako vjerovatno tvoriti bilo koji kut kao drugi, pa W ima jednoliku raspodjelu koja se kreće od -π / 2 do π / 2.

Osnovna trigonometrija pruža nam vezu između naše dvije slučajne varijable:

x = preplanulostW.

Kumulativna funkcija raspodjelexse izvodi na sljedeći način:

H(x) = P(x < x) = P(preplanulostW < x) = P(W < arctanx)

Tada koristimo činjenicu daW jednoličan je i to nam daje:

H(x) = 0.5 + (arctanx)/π

Za dobivanje funkcije gustoće vjerojatnosti razlikujemo funkciju kumulativne gustoće. Rezultat je h(x) = 1/[π (1 + x²) ]

Ono što Cauchy distribuciju čini zanimljivim jest to da smo je definirali pomoću fizičkog sustava sustava a slučajni spinner, slučajna varijabla s Cauchijevom raspodjelom nema generiranje srednje vrijednosti, varijance ili trenutka funkcija. Svi trenutke o podrijetlu koji se koriste za definiranje tih parametara ne postoje.

Započinjemo razmatranjem srednje vrijednosti. Srednja vrijednost je definirana kao očekivana vrijednost naše slučajne varijable i tako je E [x] = ∫_-∞^∞x /[π (1 + x²)] dx.

Integriramo pomoću zamjena. Ako smo postavili u = 1 +x² onda vidimo da je du = 2x dx. Nakon zamjene, rezultirajući nepravilni integral ne konvergira se. To znači da očekivana vrijednost ne postoji i da je sredina nedefinirana.

Slično tome, funkcija varijance i stvaranja trenutka nije definirana.

Distribucija Cauchy nazvana je po francuskom matematičaru Augustinu-Louisu Cauchiju (1789. - 1857.). Unatoč tome što je distribucija dobila ime Cauchy, informacije o distribuciji prvi je objavio Poissonova.