Vjerojatnosti za valjanje tri kocke

Kockice pružaju sjajne ilustracije za pojmovi u vjerojatnosti. Najčešće korištene kockice su kocke sa šest strana. Ovdje ćemo vidjeti kako izračunati vjerojatnosti za kotrljanje tri standardne kockice. Relativno je standardni problem izračunati vjerojatnost iznosa dobivenog od kotrljanje dvije kockice. Postoji ukupno 36 različitih peciva s dvije kockice, a svaka je moguća od 2 do 12.Kako se problem mijenja ako dodamo još kockica?

Baš kao što jedna smrt ima šest ishoda, a dvije kocke imaju 6 rezultata² = 36 rezultata, eksperiment vjerojatnosti kotrljanja tri kocke ima 6³ = 216 ishoda. Ova ideja dodatno generalizira još kockica. Ako se valjamo n kockice onda ih ima 6ⁿ rezultati.

Također možemo razmotriti moguće iznose od bacanja nekoliko kockica. Najmanji mogući zbroj se događa kada su sve kockice najmanje, ili jedna. To daje zbroj tri kad smo valjali tri kocke. Najveći broj na matrici je šest, što znači da se najveći mogući zbroj pojavljuje kada su sve tri kocke šest. Zbroj ove situacije je 18.

Kada n kockice se kotrljaju, najmanja moguća suma n a najveća moguća suma je 6n.

• Postoji jedan mogući način da tri kocke mogu ukupno 3
• 3 načina za 4
• 6 za 5
• 10 za 6
• 15 za 7
• 21 za 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 za 12
• 21 za 13
• 15 za 14
• 10 za 15
• 6 za 16
• 3 za 17
• 1 za 18

Kao što je gore spomenuto, za tri kocke mogući iznosi uključuju svaki broj od tri do 18. Vjerojatnosti se mogu izračunati pomoću strategije brojanja i prepoznajući da tražimo načine kako podjeliti broj na točno tri cijela broja. Na primjer, jedini način da se dobije zbroj tri je 3 = 1 + 1 + 1. Kako je svaka matrica neovisna od ostalih, zbroj poput četiri može se dobiti na tri različita načina:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Daljnjim argumentima prebrojavanja može se koristiti kako bi se pronašao broj načina oblikovanja ostalih zbroja. Particije za svaki zbroj slijede:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Kad tri različita broja tvore particiju, poput 7 = 1 + 2 + 4, postoje 3! (3x2x1) različitih načina permuting ovi brojevi. Dakle, to bi se računalo na tri ishoda u uzorku. Kad dva različita broja tvore particiju, postoje tri različita načina permutiranja tih brojeva.

Podijelimo ukupni broj načina da se dobije svaki zbroj ukupnog broja ishoda u uzorak prostoraili 216. Rezultati su:

• Vjerojatnost zbroja 3: 1/216 = 0,5%
• Vjerojatnost zbroja 4: 3/216 = 1,4%
• Vjerojatnost zbroja 5: 6/216 = 2,8%
• Vjerojatnost zbroja 6: 10/216 = 4,6%
• Vjerojatnost zbroja 7: 15/216 = 7,0%
• Vjerojatnost zbroja 8: 21/216 = 9,7%
• Vjerojatnost zbroja 9: 25/216 = 11,6%
• Vjerojatnost zbroja 10: 27/216 = 12,5%
• Vjerojatnost zbroja od 11: 27/216 = 12,5%
• Vjerojatnost zbroja 12: 25/216 = 11,6%
• Vjerojatnost zbroja 13: 21/216 = 9,7%
• Vjerojatnost zbroja 14: 15/216 = 7,0%
• Vjerojatnost zbroja od 15: 10/216 = 4,6%
• Vjerojatnost zbroja 16: 6/216 = 2,8%
• Vjerojatnost zbroja od 17: 3/216 = 1,4%
• Vjerojatnost zbroja 18: 1/216 = 0,5%

Kao što se vidi, ekstremne vrijednosti 3 i 18 najmanje su vjerojatne. Zbrojevi koji su točno u sredini najvjerojatniji su. To odgovara onome što je uočeno prilikom valjanja dviju kockica.