Dvodimenzionalna kinematika: gibanje u ravnini

U ovom su članku opisani temeljni pojmovi potrebni za analizu kretanja objekata u dvije dimenzije, bez obzira na sile koje uzrokuju uključeno ubrzanje. Primjer ove vrste problema bi bilo bacanje lopte ili pucanje iz topa. Pretpostavlja poznavanje jednodimenzionalna kinematika, budući da iste koncepte proširuje u dvodimenzionalni vektorski prostor.

Kinematika uključuje sve pomake, brzinu i ubrzanje vektorske količine koje zahtijevaju i veličinu i smjer. Stoga, da biste započeli problem u dvodimenzionalnoj kinematici, prvo morate definirati koordinatni sustav koristiš. Općenito će biti u smislu an xosi i a y-osno, orijentirano tako da gibanje ide u pozitivnom smjeru, iako mogu postojati neke okolnosti u kojima to nije najbolja metoda.

U slučajevima kada se gravitacija razmatra, uobičajeno je da se smjer gravitacije učini negativnim,y smjer. Ovo je konvencija koja općenito pojednostavljuje problem, iako bi bilo moguće izvesti proračune drugačije orijentacije ako stvarno želite.

Vektor pozicije r je vektor koji ide od podrijetla koordinatnog sustava do određene točke u sustavu. Promjena položaja (Δr, izgovara "Delta r") je razlika između početne točke (r₁) do krajnje točke (r₂). Mi definiramo Prosječna brzina (v_av) kao:

v_av = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Uzimajući granicu kao Δt pristupa 0, postižemo trenutna brzinav. U računici s računanjem, ovo je izvedenica od r s poštovanjem t, ili dr/dt.

Kako se razlika u vremenu smanjuje, početna i krajnja točka se približavaju. Budući da je smjer r je istog smjera kao v, postaje jasno da vektor trenutne brzine u svakoj točki duž staze tangenta je na putu.

Korisna osobina vektorskih količina je ta što se one mogu raščlaniti u svoje komponente vektora. Derivat vektora je zbroj njegovih komponentnih derivata, dakle:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Veličinu vektora brzine daje pitagorejski teorem u obliku:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Smjer od v je orijentirana alfa stupnjeva suprotno od kazaljke na satu x-komponenta, a može se izračunati iz sljedeće jednadžbe:

preplanulost alfa = v_y / v_x

Ubrzanje je promjena brzine u određenom vremenskom periodu. Slično kao u gornjoj analizi, nalazimo da je Δv/Δt. Granica ovog kao Δt pristup 0 donosi izvedenicu od v s poštovanjem t.

U pogledu komponenti, vektor ubrzanja se može napisati kao:

_x = dv_x/dt
_y = dv_y/dt

ili

_x = d²x/dt²
_y = d²y/dt²

Veličina i kut (označeni kao beta razlikovati od alfa) neto vektora ubrzanja izračunavaju se s komponentama na način sličan onima za brzinu.

Dvodimenzionalna kinematika često uključuje razbijanje relevantnih vektora u njihove x- i y-komponente, a zatim analiziraju svaku komponentu kao da su jednodimenzionalni slučajevi. Po završetku ove analize, komponente brzine i / ili ubrzanja se tada kombiniraju natrag kako bi se dobili rezultirajući dvodimenzionalni vektori brzine i / ili ubrzanja.

Gore navedene jednadžbe mogu se proširiti za gibanje u tri dimenzije dodavanjem a z-komponenta analize. To je općenito prilično intuitivno, premda se mora voditi računa da se to izvrši u pravilnom formatu, posebno u pogledu izračuna orijentacijskog kuta vektora.

Uredio Anne Marie Helmenstine, dr. Sc.