Nulta faktor je matematički izraz za broj načina na koje možete rasporediti skup podataka bez vrijednosti, a jednaka je jedinici. Općenito, the faktorijel broja je skraćeni način pisanja izraza množenja pri čemu se broj množi sa svakim brojem manjim od njega, ali većim od nule. 4! = 24, na primjer, isto je kao i pisanje 4 x 3 x 2 x 1 = 24, ali jedan upotrebljava uskličnik desno od tvorničkog broja (četiri) da bi izrazio istu jednadžbu.
Iz ovih je primjera prilično jasno kako izračunati faktorije bilo kojeg cijelog broja većeg od ili jednak jednom, ali zašto je vrijednost nulte faktografske vrijednosti unatoč matematičkom pravilu da je bilo što pomnoženo s nulom jednako nuli?
Definicija faktororija kaže da 0! = 1. To obično zbunjuje ljude kad prvi put vide ovu jednadžbu, ali vidjet ćemo u nastavku primjeri zašto to ima smisla kada gledate definiciju, permutacije i formule za nulu faktorijel.
Definicija nulteg faktora
Prvi razlog zašto je nulta faktororija jednaka jednome je taj što definicija kaže da treba biti, a to je matematički ispravno objašnjenje (ako je nešto nezadovoljno). Ipak, treba se sjetiti da je definicija faktororija proizvod svih cjelobrojnih brojeva koji su jednaki ili manji u vrijednosti izvorni broj - drugim riječima, faktororial je broj kombinacija koji je moguć s brojevima manjim ili jednakim broj.
Budući da nula nema manje od nje, ali je i dalje sama po sebi jedan broj, postoji samo jedna moguća kombinacija kako se taj skup podataka može organizirati: ne može. To se još uvijek smatra načinom aranžiranja, tako da je po definiciji nulti faktor jednak jednome, jednako 1! jednaka je jednom jer postoji samo jedan mogući raspored ovog skupa podataka.
Da biste bolje razumjeli kako to matematički ima smisla, važno je napomenuti da se faktori poput ove koriste za određivanje mogućih redoslijeda informacija u slijed, također poznat kao permutacije, što može biti korisno za razumijevanje da iako nema vrijednosti u praznom ili nultom skupu, još uvijek postoji jedan način da se postavi raspoređeni.
Permutacije i faktororiji
permutacija je specifičan, jedinstven redoslijed elemenata u skupu. Na primjer, postoji šest permutacija skupa {1, 2, 3}, koji sadrži tri elementa, jer ove elemente možemo zapisati na sljedećih šest načina:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Ovu činjenicu možemo iznijeti i kroz jednadžbu 3! = 6, što je faktografski prikaz cijelog niza permutacija. Na sličan način postoje 4! = 24 permutacije skupa s četiri elementa i 5! = 120 permutacija skupa s pet elemenata. Stoga je dopustiti alternativni način razmišljanja o tvornici n biti prirodni broj i reći to n! je broj permutacija za skup s n elementi.
S ovim načinom razmišljanja o tvornici, pogledajmo još nekoliko primjera. Set s dva elementa ima dvije permutacije: {a, b} može se organizirati kao a, b ili kao b, a. To odgovara 2! = 2. Skup s jednim elementom ima jednu permutaciju, jer se element 1 u skupu {1} može naručiti samo na jedan način.
To nas dovodi do nulte faktorije. Skup s nultim elementima naziva se prazan set. Da pronađemo vrijednost nulte faktorike, pitamo „Koliko načina možemo naručiti skup bez elemenata?“ Ovdje moramo malo produžiti svoje razmišljanje. Iako se ništa ne može narediti, postoji jedan način da se to postigne. Tako imamo 0! = 1.
Formule i druga provjera valjanosti
Još jedan razlog za definiciju 0! = 1 ima veze s formulama koje koristimo za permutacije i kombinacije. To ne objašnjava zašto je nulta faktororija jedna, ali pokazuje zašto je postavljanje 0! = 1 je dobra ideja.
Kombinacija je skupina elemenata skupa bez obzira na poredak. Na primjer, razmotrite skup {1, 2, 3}, gdje postoji jedna kombinacija koja se sastoji od sva tri elementa. Bez obzira kako ove elemente raspoređujemo, završavamo s istom kombinacijom.
Koristimo formula za kombinacije s kombinacijom tri elementa uzeta tri odjednom i vidimo da je 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), A ako tretiramo 0! kao nepoznatu količinu i rješavamo algebarski, vidimo da 3! 0! = 3! i tako 0! = 1.
Postoje i drugi razlozi zašto je definicija 0! = 1 je točno, ali gornji su razlozi najjasniji. Ukupna ideja matematike je da kad se konstruiraju nove ideje i definicije, one ostaju u skladu s drugom matematikom, a to je upravo ono što vidimo u definiciji nulte faktorije jednak jednom.