Jedan popularan način proučavanja vjerojatnosti je bacanje kockica. Standardni kalup ima šest strana ispisanih s malim točkicama s brojevima 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Ako je umret fer (i hoćemo pretpostaviti da su svi), onda je svaki od ovih ishoda podjednako vjerojatan. Budući da postoji šest mogućih ishoda, vjerojatnost dobivanja bilo koje strane matrice je 1/6. Vjerojatnost kotrljanja a 1 je 1/6, vjerojatnost kotrljanja a 1 je 1/6, i tako dalje. Ali što se događa ako dodamo još jedan die? Koje su vjerojatnosti za valjanje dvije kocke?
Vjerojatnost kockanja kockica
Da bismo pravilno odredili vjerojatnost kockanja na kockicama, moramo znati dvije stvari:
- Veličina uzorak prostora ili skup ukupnih mogućih ishoda
- Koliko često se događaj događa
U vjerojatnost, događaj je određeni podskup prostora uzorka. Na primjer, kada se kotrlja samo jedna matrica, kao u gornjem primjeru, prostor uzorka jednak je svim vrijednostima na matrici ili skupu (1, 2, 3, 4, 5, 6). Kako je matrica fer, svaki se broj u skupu pojavljuje samo jedanput. Drugim riječima, učestalost svakog broja je 1. Da bismo odredili vjerojatnost kotrljanja bilo kojeg od brojeva na matrici, podijelimo frekvenciju događaja (1) na veličinu prostora uzorka (6), što rezultira vjerojatnošću 1/6.
Rolanje dvije poštene kockice više nego udvostručuje poteškoće izračuna vjerojatnosti. To je zato što kotrljanje jedne matrice ne ovisi o valjanju drugog. Jedna rola nema utjecaja na drugu. Kada se bavimo neovisnim događajima koristimo pravilo množenja. Upotreba dijagrama stabla pokazuje da je 6 x 6 = 36 mogućih ishoda valjanja dvije kocke.
Pretpostavimo da prva matrica koju smo kotrljali dolazi kao 1. Drugi valjak može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Sada pretpostavimo da je prvi umor 2. Ostali valjak može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Već smo pronašli 12 potencijalnih ishoda i tek su iscrpili sve mogućnosti prvog umiranja.
Tabela vjerojatnosti valjanja dvije kocke
Mogući ishodi valjanja dvije kocke prikazani su u donjoj tablici. Imajte na umu da je broj ukupnih mogućih ishoda jednak prostoru uzorka prvog matrice (6) pomnožilo prema prostoru uzorka drugog matrice (6), što je 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tri ili više kockica
Isti princip vrijedi ako radimo na tome problemi koji uključuju tri kocke. Pomnožimo i vidimo da postoji 6 x 6 x 6 = 216 mogućih ishoda. Kako postaje smorno pisati ponavljano množenje, pomoću eksponenata možemo pojednostaviti rad. Za dvije kocke, ima ih 62 mogući ishodi. Za tri kocke, ima ih 63 mogući ishodi. Općenito, ako se valjamo n kockice, onda ih ima ukupno 6n mogući ishodi.
Primjeri problema
Pomoću ovog znanja možemo riješiti sve vrste problema vjerojatnosti:
1. Dvije šesterostrane kockice valjaju se. Kolika je vjerojatnost da je zbroj dviju kockica sedam?
Najlakši način za rješenje ovog problema je konzultiranje gornje tablice. Primijetit ćete da u svakom redu postoji po jedan kolut rolice gdje je zbroj dviju kockica jednak sedam. Budući da postoji šest redaka, postoji šest mogućih ishoda gdje je zbroj dviju kockica jednak sedam. Broj ukupno mogućih ishoda ostaje 36. Ponovno pronalazimo vjerojatnost dijeljenjem frekvencije događaja (6) s veličinom uzorka (36), što rezultira vjerojatnošću 1/6.
2. Dvije šesterostrane kockice valjaju se. Kolika je vjerojatnost da zbroj od dvije kocke tri?
U prethodnom problemu ste možda primijetili da ćelije u kojima je zbroj dviju kockica jednak sedam tvori dijagonalu. Isto je ovdje i ovdje, osim u ovom slučaju postoje samo dvije stanice u kojima je zbroj kockica tri. To je zato što postoje samo dva načina za postizanje ovog rezultata. Morate kotrljati 1 i 2 ili morate rolati 2 i 1. Kombinacije za zbroj od sedam su mnogo veće (1 i 6, 2 i 5, 3 i 4, i tako dalje). Da bismo pronašli vjerojatnost da je zbroj dviju kockica tri, možemo podijeliti frekvenciju događaja (2) na veličinu uzorka (36), što rezultira vjerojatnošću 1/18.
3. Dvije šesterostrane kockice valjaju se. Kolika je vjerojatnost da brojevi na kockicama su različite?
Opet ovaj problem možemo lako riješiti savjetovanjem gornje tablice. Primijetit ćete da stanice u kojima su brojevi na kockama jednaki čine dijagonalu. Ima ih samo šest, a nakon što ih precrtamo imamo preostale ćelije u kojima su brojevi na kockicama različiti. Možemo uzeti broj kombinacija (30) i podijeliti ga na veličinu prostora uzorka (36), što rezultira vjerojatnošću 5/6.