Nisu svi beskonačni skupovi isti. Jedan od načina razlikovanja tih skupova je postavljanje pitanja je li skup područno beskonačan ili ne. Na ovaj način kažemo da su beskonačni skupovi ili brojivi ili nebrojivi. Razmotrit ćemo nekoliko primjera beskonačnih skupova i odrediti koji su od njih nebrojivi.
Izuzetno beskonačno
Započinjemo odbacivanjem nekoliko primjera beskonačnih skupova. Mnogi od beskonačnih skupova o kojima bismo odmah pomislili nalaze se kao beskrajno beskrajni. To znači da se oni mogu uklopiti u pojedinačne prepiske s prirodnim brojevima.
Prirodni brojevi, cijeli brojevi i racionalni brojevi svi su neizmjerno beskonačni. Također se može računati bilo kakvo spajanje ili sjecište brojnih beskonačnih skupova. Kartezijev proizvod bilo kojeg broja brojivih setova je mjerljiv. Bilo koji podskup broja koji se broji također se može nadgledati.
Nebrojiv
Najčešći način uvođenja nebrojivih skupova jest razmatranje intervala (0, 1) od stvarni brojevi. Iz te činjenice i funkcija jedan na jedan
f( x ) = bx + . direktan je dokaz da je bilo koji interval (, b) stvarnih brojeva je neograničeno beskonačno.Cijeli niz realnih brojeva također se ne može računati. Jedan od načina da se to pokaže je upotreba tangencijske funkcije jedan na jedan f ( x ) = tan x. Domena ove funkcije je interval (-π / 2, π / 2), niz koji se ne može računati, a raspon je skup svih stvarnih brojeva.
Ostale nebrojive setove
Operacije osnovne teorije skupova mogu se upotrijebiti za dobivanje više primjera nebrojivih beskonačnih skupova:
- Ako je podskupina B i ne može se računati, onda je tako B. To daje jasniji dokaz da se čitav niz stvarnih brojeva ne može računati.
- Ako je nebrojiv i B bilo koji skup, onda unija U B također se ne može računati.
- Ako je nebrojiv i B bilo koji skup, onda je kartuzijanski proizvod x B također se ne može računati.
- Ako je beskonačan (čak mjerljivo beskonačan) tada skup snage od ne može se računati.
Dva iznenađujuća primjera, pomalo su iznenađujuća. Nije svaki podskup stvarnih brojeva neizmjerno beskonačan (doista, racionalni brojevi tvore brojiv podskup realnih brojeva koji je također gust). Određene podgrupe su neograničeno beskonačne.
Jedna od tih beskonačno beskonačnih podskupova uključuje određene vrste decimalnih ekspanzija. Ako odaberemo dva broja i formiramo svako moguće decimalno širenje samo s ove dvije znamenke, tada se dobiveni beskonačni skup ne može računati.
Drugi je skup složeniji za konstrukciju i također se ne može izračunati. Započnite s zatvorenim intervalom [0,1]. Uklonite sredinu trećine ovog skupa, što rezultira [0, 1/3] U [2/3, 1]. Sada uklonite srednju trećinu svakog preostalog dijela kompleta. Dakle (1/9, 2/9) i (7/9, 8/9) se uklanja. Nastavljamo na ovaj način. Skup točaka koje ostaju nakon uklanjanja svih tih intervala nije interval, međutim, on je neopisivo beskonačan. Ovaj skup naziva se Cantor Set.
Postoji beskonačno mnogo nebrojivih skupova, ali gornji su primjeri neki od najčešćih susreta.