Jedno prirodno pitanje koje treba postaviti o distribuciji vjerojatnosti je: "Koje je njegovo središte?" Očekivana vrijednost jedno je takvo mjerenje središta distribucije vjerojatnosti. Budući da mjeri srednju vrijednost, ne treba čuditi da je ova formula izvedena iz srednje vrijednosti.
Da bismo uspostavili polazište, moramo odgovoriti na pitanje: "Koja je očekivana vrijednost?" Pretpostavimo da imamo slučajnu varijablu povezanu s eksperimentom vjerojatnosti. Recimo da ovaj eksperiment ponavljamo iznova i iznova. Dugogodišnjim provođenjem nekoliko ponavljanja istog eksperimenta vjerojatnosti, ako usporedimo sve naše vrijednosti nasumična varijabla, dobili bismo očekivanu vrijednost.
U nastavku ćemo vidjeti kako koristiti formulu za očekivanu vrijednost. Gledat ćemo i diskretne i kontinuirane postavke i vidjeti sličnosti i razlike u formulama.
Formula za diskretnu slučajnu varijablu
Započinjemo analizom diskretnog slučaja. S obzirom na diskretnu slučajnu varijablu x, pretpostavimo da ima vrijednosti
x1, x2, x3,... xn, i odgovarajuće vjerojatnosti od p1, p2, p3,... pn. To govori da funkcija vjerojatnosti mase za ovu slučajnu varijablu daje f(xja) = pja.Očekivana vrijednost x se daje formulom:
E (x) = x1p1 + x2p2 + x3p3 +... + xnpn.
Korištenje funkcije vjerojatnosti mase i notacija zbroja omogućava nam da složenije napišemo ovu formulu na sljedeći način, gdje zbroj preuzimamo indeks ja:
E (x) = Σ xjaf(xja).
Ovu verziju formule korisno je vidjeti jer djeluje i kada imamo beskonačni prostor uzorka. Ova se formula također može lako prilagoditi za kontinuirani slučaj.
Primjer
Tri puta baci novčić i pusti x biti broj glava. Slučajna varijabla x je diskretna i konačna. Jedine moguće vrijednosti koje možemo imati su 0, 1, 2 i 3. To je vjerojatnostna raspodjela 1/8 za x = 0, 3/8 za x = 1, 3/8 za x = 2, 1/8 za x = 3. Upotrijebite formulu očekivane vrijednosti za dobivanje:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
U ovom primjeru vidimo da ćemo, dugoročno gledano, prosječno izračunati 1,5 glave iz ovog eksperimenta. To ima smisla s našom intuicijom jer je polovica 3 1,5.
Formula za kontinuiranu slučajnu varijablu
Sada se okrećemo kontinuiranoj slučajnoj varijabli koju ćemo označiti x. Pustit ćemo funkciju gustoće vjerojatnosti od x biti dat funkcijom f(x).
Očekivana vrijednost x se daje formulom:
E (x) = ∫ x f(x) dx.
Ovdje vidimo da se očekivana vrijednost naše slučajne varijable izražava kao integral.
Primjene očekivane vrijednosti
Ima ih mnogo aplikacije za očekivanu vrijednost slučajne varijable. Ova formula čini zanimljiv izgled u Sankt Peterburg Paradoks.