Rješenja za izazivanje problema s prebrojavanjem

Brojanje može izgledati kao lak zadatak za obavljanje. Kako dublje ulazimo u područje grada matematika poznat kao kombinatorika, shvaćamo da nailazimo na neki veliki broj. Od vremena faktorijel pojavljuje se tako često, a broj poput 10! je veća od tri milijuna, brojanje problema može se vrlo brzo zakomplicirati ako pokušamo nabrojati sve mogućnosti.

Ponekad kada razmotrimo sve mogućnosti koje mogu imati naši problemi s brojenjem, lakše je razmisliti o temeljnim načelima problema. Ova strategija može potrajati puno manje vremena nego pokušaj grube sile da nabrojimo niz kombinacije ili permutacije.

Pitanje "Na koliko načina se nešto može učiniti?" drugačije je pitanje u cijelosti od „Koji su načini da se nešto može učiniti? "Ovu ćemo ideju vidjeti na djelu u sljedećem nizu izazovnog brojanja problemi.

Sljedeći skup pitanja uključuje riječ TRIANGLE. Imajte na umu da ima ukupno osam slova. Neka se razumije da samoglasnici riječi TRIANGLE su AEI, a suglasnici riječi TRIANGLE su LGNRT. Za pravi izazov, prije čitanja, provjerite inačicu ovih problema bez rješenja.

1. Na koji se način mogu složiti slova riječi TRIANGLE?
   Riješenje: Ovdje je ukupno osam izbora za prvo slovo, sedam za drugo, šest za treće i tako dalje. Po principu množenja množimo za ukupno 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 različitih načina.
2. Na koji se način mogu složiti slova riječi TRIANGLE ako prva tri slova moraju biti RAN (u tom točno određenom redoslijedu)?
   Riješenje: Prva tri slova odabrana su za nas, ostavivši nam pet slova. Nakon RAN-a imamo pet izbora za sljedeće slovo, a slijede četiri, zatim tri, a zatim dva, a zatim jedan. Po principu množenja postoji 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 načina slaganja slova na određeni način.
3. Na koji se način mogu složiti slova riječi TRIANGLE ako prva tri slova moraju biti RAN (bilo kojim redoslijedom)?
   Riješenje: Pogledajte ovo kao dva neovisna zadatka: prvi je slaganje slova RAN, a drugi poredanje ostalih pet slova. Postoje 3! = 6 načina da dogovorite RAN i 5! Načini slaganja ostalih pet slova. Dakle, ima ih ukupno 3! x 5! = 720 načina da složite slova TRIANGLE kako je specificirano.
4. Na koji se način mogu složiti slova riječi TRIANGLE ako prva tri slova moraju biti RAN (bilo kojim redoslijedom), a posljednje slovo mora biti samoglasnik?
   Riješenje: Pogledajte ovo kao tri zadatka: prvi raspoređuje slova RAN, drugi bira jedan samoglasnik iz I i E, a treći sređuje ostala četiri slova. Postoje 3! = 6 načina slaganja RAN-a, 2 načina biranja samoglasnika iz preostalih slova i 4! Načini slaganja ostala četiri slova. Dakle, ima ih ukupno 3! X 2 x 4! = 288 načina kako složiti slova TRIANGLE kako je specificirano.
5. Na koji se način mogu složiti slova riječi TRIANGLE ako prva tri slova moraju biti RAN (bilo kojim redoslijedom), a slijedeća tri slova moraju biti TRI (bilo kojim redoslijedom)?
   Riješenje: Opet imamo tri zadatka: prvi sređuje slova RAN, drugi sređuje slova TRI, a treći aranžira ostala dva slova. Postoje 3! = 6 načina za dogovor RAN, 3! načina za organiziranje TRI i dva načina za slaganje ostalih slova. Dakle, ima ih ukupno 3! x 3! X 2 = 72 načina da složite slova TRIANGLE kako je naznačeno.
6. Na koliko različitih načina mogu se složiti slova riječi TRIANGLE ako se redoslijed i mjesto samoglasnika IAE ne mogu promijeniti?
   Riješenje: Tri samoglasnika moraju se držati istim redoslijedom. Sada je dogovoreno ukupno pet suglasnika. To se može učiniti za 5! = 120 načina.
7. Na koliko različitih načina mogu se složiti slova riječi TRIANGLE ako poredak samoglasnika IAE ne može mogu se mijenjati, iako njihov položaj može biti (IAETRNGL i TRIANGEL prihvatljivi, ali EIATRNGL i TRIENGLA su ne)?
   Riješenje: To je najbolje razmisliti u dva koraka. Prvi korak je odabir mjesta na koja samoglasnici idu. Ovdje odabiremo tri mjesta od osam, a redoslijed da to učinimo nije važan. Ovo je kombinacija i ima ih ukupno C(8,3) = 56 načina za izvođenje ovog koraka. Preostalih pet slova može biti složeno u 5! = 120 načina. To daje ukupno 56 x 120 = 6720 aranžmana.
8. Na koliko različitih načina mogu se složiti slova riječi TRIANGLE ako se redoslijed samoglasnika IAE može izmijeniti, mada se njihovo postavljanje možda ne može dogoditi?
   Riješenje: To je stvarno ista stvar kao # 4 gore, ali s različitim slovima. Organiziramo tri slova u 3! = 6 načina i ostalih pet slova u 5! = 120 načina. Ukupni broj načina za ovaj aranžman je 6 x 120 = 720.
9. Na koliko različitih načina može se organizirati šest slova riječi TRIANGLE?
   Riješenje: Budući da govorimo o aranžmanu, ovo je permutacija i ima ih ukupno P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 načina.
10. Na koliko različitih načina može se organizirati šest slova riječi TRIANGLE ako mora postojati jednak broj samoglasnika i suglasnika?
    Riješenje: Postoji samo jedan način odabira samoglasnika koje ćemo postaviti. Odabir suglasnika može se izvršiti u C(5, 3) = 10 načina. Tada ih je 6! načine slaganja šest slova. Pomnožite ove brojeve zajedno za rezultat 7200.
11. Na koliko različitih načina može se organizirati šest slova riječi TRIANGLE ako mora postojati barem jedan suglasnik?
    Riješenje: Svaki raspored od šest slova zadovoljava uvjete, pa ih ima P(8, 6) = 20.160 načina.
12. Na koliko različitih načina može se organizirati šest slova riječi TRIANGLE ako se samoglasnici moraju izmjenjivati ​​s suglasnicima?
    Riješenje: Postoje dvije mogućnosti, prvo slovo je samoglasnik ili prvo slovo suglasnik. Ako je prvo slovo samoglasnik, imamo tri izbora, zatim pet za suglasnik, dva za drugi samoglasnik, četiri za drugi suglasnik, jedan za posljednji samoglasnik i tri za posljednji suglasnik. Pomnožimo to da bismo dobili 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Argumentima simetrije postoji isti broj aranžmana koji počinju sa suglasnikom. To daje ukupno 720 aranžmana.
13. Koliko različitih skupova od četiri slova može se stvoriti od riječi TRIANGLE?
    Riješenje: Budući da govorimo o a set od četiri pisma od ukupno osam, redoslijed nije važan. Moramo izračunati kombinaciju C(8, 4) = 70.
14. Koliko različitih skupova od četiri slova može se stvoriti od riječi TRIANGLE koja ima dva samoglasnika i dva suglasnika?
    Riješenje: Ovdje svoj skup oblikujemo u dva koraka. Tamo su C(3, 2) = 3 načina da odaberete dva samoglasnika od ukupno 3. Tamo su C(5, 2) = 10 načina za odabir suglasnika iz pet dostupnih. To daje ukupno 3x10 = 30 mogućih skupova.
15. Koliko različitih skupova od četiri slova može se stvoriti od riječi TRIANGLE ako želimo barem jedan samoglasnik?
    Riješenje: To se može izračunati na sljedeći način:

• Broj skupova od četiri s jednim samoglasnikom je C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Broj skupova od četiri s dva samoglasnika je C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Broj skupova od četiri s tri samoglasnika je C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

To daje ukupno 65 različitih setova. Alternativno, mogli bismo izračunati da postoji 70 načina da se formira skup od četiri slova i oduzme ih C(5, 4) = 5 načina dobivanja skupa bez samoglasnika.