Ako biste pitali nekoga da mu napiše njegovu omiljenu matematičku konstantu, vjerojatno biste dobili neke kvizističke poglede. Nakon nekog vremena, netko se može dobrovoljno javiti da najbolja konstanta je pi. Ali to nije jedina važna matematička konstanta. Bliska sekunda, ako ne i kandidat za krunu većine sveprisutne konstante e. Taj se broj prikazuje u računici, teoriji brojeva, vjerojatnosti i statistika. Istražit ćemo neke značajke ovog izuzetnog broja i vidjeti kakve veze ima sa statistikom i vjerojatnošću.
Vrijednost e
Kao pi, e je iracionalno pravi broj. To znači da se ne može zapisati kao ulomak, i da se njegovo decimalno širenje nastavlja zauvijek, bez bloka ponavljajućih brojeva koji se neprestano ponavlja. Broj e također je transcendentalna, što znači da nije korijen ne-nuro-polinoma s racionalnim koeficijentima. Prvih pedeset decimalnih mjesta daje Z e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definicija od e
Broj e otkrili su ljudi koji su bili znatiželjni zbog složenih interesa. U ovom obliku kamate, glavnica zarađuje kamate, a zatim generirani interes zarađuje na sebi. Primijećeno je da što je veća učestalost razdoblja sažimanja godišnje, veći je iznos kamate. Na primjer, mogli bismo gledati složene kamate:
- Godišnje ili jednom godišnje
- Polugodišnje, ili dva puta godišnje
- Mjesečno, ili 12 puta godišnje
- Svakodnevno, ili 365 puta godišnje
Ukupni iznos kamate povećava se za svaki od ovih slučajeva.
Postavljalo se pitanje koliko bi novaca moglo zaraditi kamate. Da bismo pokušali zaraditi još više novca, teoretski bismo mogli povećati broj složenih razdoblja na onoliko koliko smo željeli. Krajnji rezultat ovog povećanja je da bismo uzeli u obzir da se kamata neprestano povećava.
Iako se kamata povećava, to čini vrlo sporo. Ukupni iznos novca na računu se zapravo stabilizira i vrijednost koju on stabilizira e. Da bismo to izrazili matematičkom formulom, kažemo da je granica kao n povećanje od (1 + 1 /n)n = e.
Upotrebe od e
Broj e prikazuje se kroz cijelu matematiku. Evo nekoliko mjesta na kojima se pojavljuje:
- Osnova je prirodnog logaritma. Otkako je Napier izumio logaritme, e ponekad se naziva Napierova konstanta.
- U računici, eksponencijalna funkcija ex ima jedinstveno svojstvo biti svojstvenim derivatom.
- Izrazi koji uključuju ex i e-x kombiniraju se za stvaranje hiperboličkih sinusa i hiperboličkih funkcija kosinusa.
- Zahvaljujući Eulerovom radu, znamo da su temeljne konstante matematike međusobno povezane formulom eiΠ + 1 = 0, gdje ja je imaginarni broj koji je kvadratni korijen negativnog.
- Broj e prikazuje se u raznim formulama kroz matematiku, posebno područje teorije brojeva.
Vrijednost e u Statistika
Važnost broja e nije ograničeno na samo nekoliko područja matematike. Postoji i nekoliko upotreba broja e u statistici i vjerojatnosti. Nekoliko je sljedećih:
- Broj e pojavljuje se u formula za gama funkciju.
- Formule za standardna normalna distribucija uključuje e na negativnu snagu. Ova formula uključuje i pi.
- Mnoge druge distribucije uključuju upotrebu broja e. Na primjer, sve formule za t-distribuciju, distribuciju gama i hi-kvadratnu distribuciju sadrže broj e.