Radni list za Čebiševu nejednakost

Čebiševa nejednakost kaže da barem 1 -1 /K² podaci iz uzorka moraju biti unutar Kstandardna odstupanja od srednja, gdjeK je li pozitivan pravi broj veći od jednog. To znači da ne trebamo znati oblik distribucije naših podataka. Samo srednjom i standardnom devijacijom možemo odrediti količinu podataka i određeni broj standardnih odstupanja od srednje vrijednosti.

Slijedi nekoliko problema za primjenu nejednakosti.

Razred drugorazrednih greda ima srednju visinu od pet stopa sa standardnim odstupanjem od jednog inča. Barem koji postotak klase mora biti između 4 i 10 ”do 5?

Visine koje su date u gornjem rasponu su unutar dva standardna odstupanja od srednje visine od pet stopa. Čebiševa nejednakost kaže da je najmanje 1 - 1/2² = 3/4 = 75% klase je u datom rasponu visine.

Otkriva se kako računala određene tvrtke traju u prosjeku tri godine bez ikakvog hardverskog kvara, sa standardnim odstupanjem od dva mjeseca. Barem koji postotak računala traje između 31 i 41 mjeseca?

Prosječni životni vijek od tri godine odgovara 36 mjeseci. Vremena od 31 mjeseca do 41 mjeseca su svakih 5/2 = 2,5 standardnih odstupanja od srednje vrijednosti. Po Čebiševoj nejednakosti, barem 1 - 1 / (2,5) 6² = 84% računala traje od 31 mjeseca do 41 mjeseca.

Bakterije u kulturi žive u prosjeku tri sata sa standardnim odstupanjem od 10 minuta. Barem koji udio bakterija živi između dva i četiri sata?

Dva i četiri sata su jednosatno udaljeni od srednje vrijednosti. Jedan sat odgovara šest standardnih odstupanja. Tako barem 1 - 1/6² = 35/36 = 97% bakterija živi između dva i četiri sata.

Koji je najmanji broj standardnih odstupanja od srednje vrijednosti koju moramo prijeći ako želimo osigurati da imamo barem 50% podataka distribucije?

Ovdje koristimo Čebiševu nejednakost i radimo unatrag. Želimo 50% = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Cilj je koristiti algebru za rješavanje K.

Vidimo da je 1/2 = 1 /K². Križ pomnožite i vidite da je 2 =K². Uzimamo kvadratni korijen s obje strane, i od K je broj standardnih odstupanja, zanemarujemo negativno rješenje jednadžbe. To pokazuje da K jednak je kvadratnom korijenu dva. Tako je barem 50% podataka unutar otprilike 1,4 standardna odstupanja od srednje vrijednosti.

Ruta autobusa br. 25 traje u prosjeku 50 minuta, sa standardnim odstupanjem od 2 minute. Promotivni plakat za ovaj autobusni sustav kaže da "95% vremenske autobusne rute br. 25 traje od ____ do _____ minuta." S kojim brojevima biste ispunili praznine?

Ovo je pitanje slično onome posljednjem u kojem ga trebamo riješiti K, broj standardnih odstupanja od srednje vrijednosti. Započnite postavljanjem 95% = 0,95 = 1 - 1 /K². To pokazuje da je 1 - 0,95 = 1 /K². Pojednostavljeno da biste vidjeli da je 1 / 0,05 = 20 = K². Tako K = 4.47.

Sada to izrazite gore navedenim terminima. Najmanje 95% svih vožnja je 4.47 standardnih odstupanja od srednjeg vremena od 50 minuta. Pomnožite 4.47 sa standardnom devijacijom od 2 i završite s devet minuta. Tako 95% vremena autobusna ruta br. 25 traje između 41 i 59 minuta.