Vjerojatnost odabira slučajnog broja

Teorija brojeva je grana matematika koja se odnosi na skup cjelobrojnih brojeva. Ograničavamo se pomalo radeći to jer izravno ne proučavamo druge brojeve, poput iracionalnih. Međutim, druge vrste stvarni brojevi su korišteni. Uz sve to, predmet vjerojatnosti ima mnogo veza i sjecišta s teorijom brojeva. Jedna od tih veza odnosi se na distribuciju primarni brojevi. Konkretnije možemo pitati, koja je vjerojatnost da je nasumično odabran cijeli broj od 1 do x je glavni broj?

Kao i kod bilo kojeg matematičkog problema, važno je razumjeti ne samo koje se pretpostavke daju, već i definicije svih ključnih pojmova u problemu. Za ovaj problem razmatramo pozitivne cijele brojeve, što znači cijele brojeve 1, 2, 3,... do nekog broja x. Nasumično biramo jedan od tih brojeva, što znači i sve x od njih je podjednako vjerovatno da će biti izabrani.

Pokušavamo utvrditi vjerojatnost da je odabran prazni broj. Stoga trebamo razumjeti definiciju pravog broja. Jednostavni broj je pozitivni cijeli broj koji ima točno dva faktora. To znači da su jedini djelitelji pravih brojeva jedan i sam broj. Dakle, 2,3 i 5 su primes, ali 4, 8 i 12 nisu primarni. Primjećujemo da, budući da u prvome broju moraju biti dva faktora, broj 1 je

Rješenje ovog problema je jednostavno za male brojeve x. Sve što trebamo učiniti je jednostavno prebrojati broj prajdova koji su manji ili jednaki x. Podijelimo broj primanja manji ili jednak x po broju x.

Na primjer, da bismo pronašli vjerojatnost da je prajk odabran od 1 do 10, moramo podijeliti broj prajdova s ​​1 na 10 na 10. Brojevi 2, 3, 5, 7 su primarni, pa je vjerojatnost da je odabran praizvedba 4/10 = 40%.

Vjerojatnost odabira premijera od 1 do 50 može se utvrditi na sličan način. Primjeri koji su manji od 50 su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 i 47. Postoji 15 primera manje od ili jednakih 50. Stoga je vjerojatnost da je izabran nasumični slučaj slučajno 15/50 = 30%.

Taj se postupak može provesti jednostavnim brojenjem primesa sve dok imamo popis primes. Na primjer, ima 25 primanja manjih ili jednakih 100. (Prema tome, vjerojatnost da je nasumično odabrani broj od 1 do 100 glavni je 25/100 = 25%.) Međutim, ako nemamo popis primifa, može se računati zastrašujuće odrediti skup pravih brojeva koji su manji ili jednaki zadanom broj x.

Ako nemate računajući broj primama koji su manji ili jednaki x, onda postoji alternativni način rješavanja ovog problema. Rješenje uključuje matematički rezultat poznat kao teorem pravog broja. Ovo je izjava o ukupnoj raspodjeli prašume i može se koristiti za približavanje vjerojatnosti koju pokušavamo odrediti.

Teorem pravog broja kaže da ih ima otprilike x / ln (x) pravih brojeva koji su manji ili jednaki x. Ovdje ln (x) označava prirodni logaritam iz x, ili drugim riječima logaritam s bazom od broj e. Kao vrijednost x povećava se aproksimacija poboljšava, u smislu da vidimo smanjenje relativne pogreške između broja prajova manjih od x i izraz x / ln (x).

Rezultat teoreme pravog broja možemo koristiti za rješavanje problema koji pokušavamo riješiti. Znamo po teoremu jednostavnog broja da ih ima otprilike x / ln (x) pravih brojeva koji su manji ili jednaki x. Nadalje, ima ih ukupno x pozitivni cijeli brojevi manji ili jednaki x. Stoga je vjerojatnost da je nasumično odabrani broj u ovom rasponu glavni (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Sada možemo koristiti ovaj rezultat za približavanje vjerojatnosti nasumičnog odabira pravog broja od prvog milijardi cijeli brojevi. Izračunavamo prirodni logaritam milijardu i vidimo da je ln (1,000,000,000) otprilike 20,7, a 1 / ln (1,000,000,000) otprilike 0,0483. Stoga imamo oko 4,83% vjerojatnosti da nasumično izaberemo prvo od prvoga broja milijardi.