Vjerojatnost unije 3 ili više setova

Kad su dva događaja međusobno isključivi, vjerojatnost njihove unija može se izračunati s pravilo dodavanja. Znamo da za kotrljanje matrice, kotrljanje broja većeg od četiri ili broja manjeg od tri međusobno su isključivi događaji, a nemaju ništa zajedničko. Dakle, da bismo pronašli vjerojatnost ovog događaja, jednostavno dodamo vjerojatnost da smo izbacili broj veći od četiri, vjerojatnost da smo smotati broj manji od tri. U simbolima imamo sljedeće, gdje je glavni grad P označava "vjerojatnost":

P(veći od četiri ili manje od tri) = P(veći od četiri) + P(manje od tri) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Ako su događaji ne međusobno isključivi, onda ne jednostavno zbrajamo vjerojatnosti događaja, već moramo oduzeti vjerojatnost događaja križanje događaja. S obzirom na događaje i B:

P( U B) = P() + P(B) - P( ∩ B).

Ovdje računamo na mogućnost dvostrukog brojanja onih elemenata koji su u oba i B, i zato oduzimamo vjerojatnost raskrižja.

Pitanje koje iz toga proizlazi glasi: "Zašto prestati s dva niza? Kolika je vjerojatnost spajanja više od dva skupa? "

Proširit ćemo gornje ideje na situaciju u kojoj imamo tri skupa, koja ćemo označiti , B, i C. Nećemo pretpostaviti ništa više od ovoga, pa postoji mogućnost da skupovi imaju ne prazno sjecište. Cilj će biti izračunati vjerojatnost sjedinjenja ova tri skupa, ili P ( U B U C).

Gornja rasprava za dva skupa još uvijek vrijedi. Možemo zbrojiti vjerojatnosti pojedinih skupova , B, i C, ali radeći to dvostruko smo izbrojali neke elemente.

Elementi u sjecištu od i B dvostruko su se brojali kao i prije, ali sada postoje i drugi elementi koji su se potencijalno brojili dva puta. Elementi u sjecištu od i C a u sjecištu od B i C sada su se također brojile dva puta. Dakle vjerojatnosti od tih raskrižja također se mora oduzeti.

Ali jesmo li oduzeli previše? Ima nešto novo za uzeti u obzir da se nismo trebali brinuti kada su postojala samo dva seta. Kao što svaka dva skupa mogu imati sjecište, tako sva tri skupa mogu imati i sjecište. Pokušavajući osigurati da ništa nismo brojili, nismo računali na sve one elemente koji se pojavljuju u sva tri skupa. Stoga se vjerojatnost sjecišta sva tri skupa mora dodati.

Evo formule koja je izvedena iz gornje rasprave:

P ( U B U C) = P() + P(B) + P(C) - P( ∩ B) - P( ∩ C) - P(B ∩ C) + P( ∩ B ∩ C)

Da bismo vidjeli formulu vjerojatnosti sjedinjenja tri skupa, pretpostavimo da igramo igru ​​na ploči koja uključuje kotrljanje dvije kockice. S obzirom na pravila igre, moramo dobiti barem jedan matrica da bismo bili dva, tri ili četiri za pobjedu. Kolika je vjerojatnost za to? Primjećujemo da pokušavamo izračunati vjerojatnost sjedinjenja tri događaja: valjanja barem jednog dva, valjanja barem jednog tri, valjanja barem jednog četiri. Dakle, gornju formulu možemo koristiti sa sljedećim vjerojatnostima:

• Vjerovatnoća kotrljanja dvojke je 11/36. Brojač ovdje proizlazi iz činjenice da postoji šest ishoda u kojima je prvi umrijeti dvo, šest u kojem je drugi umrijeti dvo, a jedan je rezultat gdje su dvije kocke dvije. To nam daje 6 + 6 - 1 = 11.
• Vjerojatnost kotrljanja tri je 11/36, iz istog razloga kao i gore.
• Vjerojatnost kotrljanja četvorke je 11/36, iz istog razloga kao i gore.
• Vjerojatnost kotrljanja dvojke i trojke je 2/36. Ovdje jednostavno možemo nabrojati mogućnosti, njih dvoje bi mogli doći prvi ili bi mogli doći drugi.
• Vjerojatnost kotrljanja dva i četiri je 2/36, iz istog razloga koja je vjerojatnost dva i tri je 2/36.
• Vjerojatnost kotrljanja dva, tri i četiri je 0 jer smo samo dvije kocke i ne možemo dobiti tri broja s dvije kocke.

Sada koristimo formulu i vidimo da je vjerojatnost da ćemo dobiti barem dva, tri ili četiri

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Razlog zbog kojeg formula vjerojatnosti sjedinjenja četiri skupa ima svoj oblik sličan je obrazloženju za formulu za tri skupa. Kako se povećava broj setova, tako se povećava i broj parova, trostrukih i tako dalje. S četiri skupa postoji šest parnih sjecišta koja se moraju oduzeti, četiri trostruka sjecišta koja se trebaju dodati, a sada je četverostruko sjecište koje treba oduzeti. S obzirom na četiri seta , B, C i D, formula za uniju ovih skupova je sljedeća:

P ( U B U C U D) = P() + P(B) + P(C) +P(D) - P( ∩ B) - P( ∩ C) - P( ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P( ∩ B ∩ C) + P( ∩ B ∩ D) + P( ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P( ∩ B ∩ C ∩ D).

Mogli bismo napisati formule (koje bi izgledale još strašnije od gornjih) za vjerojatnost sjedinjenja više od četiri skupa, ali iz proučavanja gornjih formula treba primijetiti neke obrasce. Ovi se obrasci primjenjuju za izračun sindikata više od četiri skupa. Vjerojatnost spajanja bilo kojeg broja skupova može se naći kako slijedi:

1. Dodajte vjerojatnosti pojedinih događaja.
2. Oduzmi vjerojatnosti raskrižja svakog para događaja.
3. Dodajte vjerojatnosti sjecišta svakog skupa od tri događaja.
4. Oduzimite vjerojatnosti sjecišta svakog skupa od četiri događaja.
5. Nastavite ovaj postupak sve dok posljednja vjerojatnost nije vjerojatnost sjecišta ukupnog broja skupova s ​​kojima smo započeli.