Uvjetna vjerojatnost: bilješka i primjeri

Izravan primjer uvjetni vjerojatnost je vjerojatnost da je kartica izvučena iz standardne palube karata kralj. Ukupno su četiri kralja od 52 karte, pa je vjerojatnost jednostavno 4/52. U vezi s ovim izračunom slijedi sljedeće pitanje: "Kolika je vjerojatnost da ćemo privući kralja s obzirom na to već smo izvukli karticu s palube i to je as? "Ovdje razmatramo sadržaj palube u kartice. Još su četiri kralja, ali sada je na palubi samo 51 karta. Vjerojatnost crtanja kralja s obzirom na to da je as već bio izvučen je 4/51.

Uvjetna vjerojatnost definira se kao vjerojatnost događaja s obzirom da se dogodio drugi događaj. Ako nazovemo ove događaje i B, onda možemo razgovarati o vjerojatnosti dan B. Mogli bismo se odnositi i na vjerojatnost ovisan o B.

Oznaka uvjetne vjerojatnosti varira od udžbenika do udžbenika. U svim zapisima pokazatelj je da vjerojatnost na koju mislimo ovisi o drugom događaju. Jedna od najčešćih oznaka vjerojatnosti za dan B je P (A | B). Još jedna nota koja se koristi je P_B(A).

Postoji formula uvjetne vjerojatnosti koja to povezuje s vjerojatnošću i B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

U osnovi se glasi ta formula da se izračuna uvjetna vjerojatnost događaja s obzirom na događaj B, mijenjamo naš uzorak da se sastoji samo od skupa B. Pritom, ne razmatramo sve događaje , ali samo dio koja je također sadržana u B. Skup koji smo upravo opisali može se prepoznati kao poznatiji križanje od i B.

Možemo koristiti algebra izraziti gornju formulu na drugačiji način:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Ponovno ćemo pregledati primjer s kojim smo započeli u svjetlu ovih informacija. Želimo znati vjerojatnost crtanja kralja s obzirom na to da je već nacrtan as. Tako događaj je da nacrtamo kralja. Događaj B je da nacrtamo asa.

Vjerojatnost da se dogodi oba događaja i nacrtamo asa i tada kralj odgovara P (A ∩ B). Vrijednost ove vjerojatnosti je 12/2652. Vjerojatnost događaja B, da izvučemo asa je 4/52. Stoga koristimo formulu uvjetne vjerojatnosti i vidimo da je vjerojatnost crtanja kralja danog nego asa izvučena (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Za drugi primjer ćemo pogledati eksperiment vjerojatnosti gdje smo razvaljajte dvije kockice. Pitanje koje bismo mogli postaviti je: "Koja je vjerojatnost da smo smotali trojku, s obzirom da smo skupili manje od šest?"

Ovdje događaj je da smo valjali trojku i događaj B je da smo skupili manje od šest. Postoji ukupno 36 načina kako valjati dvije kockice. Od tih 36 načina, možemo izdvojiti zbroj manji od šest na deset načina:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Postoje slučajevi u kojima je uvjetna vjerojatnost da s obzirom na događaj B jednaka je vjerojatnosti . U ovoj situaciji kažemo da su događaji i B neovisni su jedni od drugih. Gornja formula postaje:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

i povratimo formulu da je za neovisne događaje vjerojatnost obojega i B nalazimo množenjem vjerojatnosti svakog od ovih događaja:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Kad su dva događaja neovisna, to znači da jedan događaj nema utjecaja na drugi. Prebacivanje jednog novčića, a zatim drugog primjer je neovisnih događaja. Jedan preokret novca nema utjecaja na drugi.

Budite vrlo oprezni kako biste utvrdili koji događaj ovisi o drugom. Općenito P (A | B) nije jednak P (B | A). To je vjerojatnost s obzirom na događaj B nije isto što i vjerojatnost B s obzirom na događaj .

U primjeru iznad vidjeli smo da je pri kotrljanju dviju kockica vjerojatnost kotrljanja tri, s obzirom na to da smo skupili manje od šest, bila 4/10. S druge strane, kolika je vjerojatnost da se neki zbroji manje od šest s obzirom na to da smo ih valjali? Vjerojatnost prebacivanja trojke i zbroja manjeg od šest je 4/36. Vjerojatnost da će se valjati barem jedna trojka je 11/36. Dakle, uvjetna vjerojatnost u ovom slučaju je (4/36) / (11/36) = 4/11.