Varijanca raspodjele slučajne varijable važno je svojstvo. Ovaj broj ukazuje na širenje distribucije, a nalazi se povlačenjem u kvadrat standardno odstupanje. Jedan od najčešće korištenih diskretnih distribucija je ona od Poissonove distribucije. Vidjet ćemo kako izračunati varijancu Poissonove distribucije parametrom λ.
Poissonova distribucija
Poissonove raspodjele koristimo kada imamo neki kontinuum i računamo diskretne promjene unutar ovog kontinuuma. To se događa kada uzmemo u obzir broj ljudi koji tijekom sat vremena stignu do šaltera za filmsku kartu, a to pratimo broj automobila koji prolaze kroz raskrižje sa četverosmjernim zaustavljanjem ili broje broj nedostataka koji se javljaju u duljini od žica.
Ako u ovim scenarijima napravimo nekoliko razjašnjavajućih pretpostavki, onda ove situacije odgovaraju uvjetima za Poisson-ov postupak. Zatim kažemo da slučajna varijabla, koja broji broj promjena, ima Poissonovu raspodjelu.
Poissonova distribucija zapravo se odnosi na beskonačnu obitelj raspodjele. Ove distribucije dolaze s jednim parametrom λ. Parametar je pozitivan
pravi broj to je usko povezano s očekivanim brojem promjena uočenih u kontinuumu. Nadalje, vidjet ćemo da je ovaj parametar jednak ne samo the srednja distribucije, ali i varijanca distribucije.Funkcija mase vjerojatnosti za Poissonovu raspodjelu daje:
f(x) = (λxe-λ)/x!
U ovom izrazu slovo e je broj i to je matematička konstanta s vrijednošću približno jednakom 2.718281828. Varijabla x može biti bilo koji negativni cijeli broj.
Izračunavanje varijance
Da bismo izračunali srednju vrijednost Poissonove distribucije, koristimo ovu distribuciju funkcija generiranja trenutka. Vidimo to:
M( t ) = E [eTX] = Σ eTXf( x) = ΣeTX λxe-λ)/x!
Sada se sjećamo Maclaurinove serije za eu. Budući da je bilo koji derivat funkcije eu je eu, svi ovi derivati vrednovani na nuli daju nam 1. Rezultat je serija eu = Σ un/n!.
Korištenjem Maclaurinove serije za eu, možemo generirati funkciju stvaranja trenutka ne kao niz, već u zatvorenom obliku. Kombiniramo sve izraze sa eksponentom od x. Tako M(t) = eλ(et - 1).
Sada smo pronašli varijancu uzimajući drugi derivat od M i procjenjujući to na nuli. Od M’(t) =λetM(t), koristimo pravilo proizvoda za izračunavanje drugog derivata:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
To ocjenjujemo na nuli i to nalazimo M’’(0) = λ2 + λ. Tada koristimo činjenicu da M'(0) = λ za izračun varijance.
var (x) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
To pokazuje da parametar λ nije samo srednja vrijednost Poissonove raspodjele, već je i njegova varijanca.