Slučajne varijable s binomnom raspodjelom poznato je da su diskretni. To znači da postoji određeni broj ishoda koji se mogu dogoditi u binomnoj distribuciji, s razdvajanjem tih ishoda. Na primjer, binomna varijabla može uzeti vrijednost tri ili četiri, ali ne i broj između tri i četiri.
S diskretnim karakterom binomne distribucije pomalo je iznenađujuće da se za približavanje binomne distribucije može upotrijebiti kontinuirana slučajna varijabla. Za mnoge binomne distribucije, možemo koristiti normalnu raspodjelu za približavanje naših binomnih vjerojatnosti.
To se može vidjeti pri gledanju n bacanje novčića i puštanje x biti broj glava. U ovoj situaciji imamo binomnu distribuciju s vjerojatnošću uspjeha kao p = 0,5. Kako povećavamo broj bacanja, vidimo da je vjerojatnost histogram ima veću i veću sličnost s normalnom raspodjelom.
Izjava o normalnom približavanju
Svaku normalnu raspodjelu u potpunosti definiraju dva stvarni brojevi. Ovi brojevi su srednja vrijednost koja mjeri središte distribucije i
standardno odstupanje, koji mjeri širenje distribucije. Za datu binomnu situaciju moramo biti u mogućnosti odrediti koju normalnu distribuciju koristiti.Odabir ispravne normalne raspodjele određuje se brojem pokusa n u binomnoj postavci i stalnoj vjerojatnosti uspjeha p za svako od ovih ispitivanja. Normalna aproksimacija za našu binomnu varijablu je srednja vrijednost np i standardno odstupanje od (np(1 - p)0.5.
Na primjer, pretpostavimo da smo na svakih 100 pitanja testa s višestrukim izborom pogodili, gdje je svako pitanje imalo jedan točan odgovor iz četiri izbora. Broj točnih odgovora x je binomna slučajna varijabla sa n = 100 i p = 0.25. Dakle, ova slučajna varijabla ima srednju vrijednost 100 (0,25) = 25 i standardno odstupanje od (100 (0,25) (0,75))0.5 = 4.33. Normalna distribucija sa srednjom vrijednosti 25 i standardnim odstupanjem 4,33 će raditi na približavanju ove binomne distribucije.
Kada je aproksimacija prikladna?
Pomoću neke matematike može se pokazati da postoji nekoliko uvjeta za koje je potrebno da koristimo normalnu aproksimaciju binomna raspodjela. Broj opažanja n mora biti dovoljno velika, a vrijednost p tako da oboje np i n(1 - p) veće su ili jednake 10. Ovo je pravilo koje se vodi u statističkoj praksi. Uvijek se može koristiti normalna aproksimacija, ali ako ti uvjeti nisu ispunjeni, aproksimacija možda neće biti tako dobra od aproksimacije.
Na primjer, ako n = 100 i p = 0,25, tada smo opravdani u korištenju normalne aproksimacije. Ovo je zbog np = 25 i n(1 - p) = 75. Budući da su oba ova broja veća od 10, odgovarajuća normalna raspodjela će učiniti prilično dobar posao procjene binomnih vjerojatnosti.
Zašto koristiti aproksimaciju?
Binomne vjerojatnosti izračunavaju se korištenjem vrlo izravne formule za pronalazak binomnog koeficijenta. Nažalost, zbog faktorijela u formuli može biti vrlo lako naići na računske poteškoće s binomni formula. Normalna aproksimacija omogućava nam zaobići bilo koji od ovih problema radeći s poznatim prijateljem, tablicom vrijednosti standardne normalne distribucije.
Određivanje vjerojatnosti da binomna slučajna varijabla padne unutar vrijednosti vrijednosti često je zamorno izračunati. To je zbog pronalaženja vjerojatnosti da je binomna varijabla x je veći od 3 i manji od 10, trebali bismo pronaći vjerojatnost da x jednaka 4, 5, 6, 7, 8 i 9, a zatim zbrojite sve ove vjerojatnosti. Ako se može upotrijebiti normalna aproksimacija, trebamo odrediti z-rezultate koji odgovaraju 3 i 10, a zatim upotrijebiti z-score tablicu vjerojatnosti za standardna normalna distribucija.